ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\cos (2 θ) = \frac{مجاور}{وتر}$

خطوة 2

أوجِد الضلع المقابل لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الضلع المجاور والوتر معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المقابل = \sqrt{{وتر}^{2} - {مجاور}^{2}}$

خطوة 3

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المقابل = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{3}$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

انقُل ${(- 1)}^{2}$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2})}$

خطوة 4.3.2

اضرب ${(- 1)}^{2}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2})}$

خطوة 4.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

الضلع المقابل $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.3.3

أضف $2$ و $1$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - 3}$

خطوة 4.5.5

احسِب قيمة الأُس.

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

خطوة 4.6

اضرب $- 1$ في $3$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{4 - 3}$

خطوة 4.7

اطرح $3$ من $4$ .

الضلع المقابل $= \sqrt{1}$

خطوة 4.8

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

الضلع المقابل $= 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة الجيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (2 θ)$ .

$\sin (2 θ) = \frac{opp}{hyp}$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

خطوة 6

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (2 θ)$ .

$\tan (2 θ) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (2 θ) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

خطوة 6.3

بسّط قيمة $\tan (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\tan (2 θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

خطوة 6.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\tan (2 θ) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

خطوة 6.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 θ) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

خطوة 6.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 6.3.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 6.3.3.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 6.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 6.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 6.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 7

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (2 θ)$ .

$\cot (2 θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (2 θ) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

خطوة 7.3

اقسِم $- \sqrt{3}$ على $1$ .

$\cot (2 θ) = - \sqrt{3}$

خطوة 8

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (2 θ)$ .

$\sec (2 θ) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (2 θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

خطوة 8.3

بسّط قيمة $\sec (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec (2 θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

خطوة 8.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.3.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 8.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 8.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 9

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (2 θ)$ .

$\csc (2 θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (2 θ) = \frac{2}{1}$

خطوة 9.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\csc (2 θ) = 2$

خطوة 10

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (2 θ) = - \sqrt{3}$

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (2 θ) = 2$