ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x - 225 = 0$

خطوة 1

أضف $225$ إلى كلا المتعادلين.

$10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$

خطوة 2

أكمل المربع لـ $10 y^{2} + 60 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 10$

$b = 60$

$c = 0$

خطوة 2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{60}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $60$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $60$ .

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 10$ .

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 (10)}$

خطوة 2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{30}{10}$

خطوة 2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أخرِج العامل $10$ من $30$ .

$d = \frac{10 \cdot 3}{10}$

خطوة 2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $10$ من $10$ .

$d = \frac{10 \cdot 3}{10 (1)}$

خطوة 2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{10 \cdot 3}{10 \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{1}$

خطوة 2.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$d = 3$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{60^{2}}{4 \cdot 10}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ارفع $60$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{3600}{4 \cdot 10}$

خطوة 2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $10$ .

$e = 0 - \frac{3600}{40}$

خطوة 2.4.2.1.3

اقسِم $3600$ على $40$ .

$e = 0 - 1 \cdot 90$

خطوة 2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $90$ .

$e = 0 - 90$

خطوة 2.4.2.2

اطرح $90$ من $0$ .

$e = - 90$

خطوة 2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $10 {(y + 3)}^{2} - 90$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 90$

خطوة 3

استبدِل $10 y^{2} + 60 y$ بـ $10 {(y + 3)}^{2} - 90$ في المعادلة $10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 90 - 20 x^{2} + 160 x = 225$

خطوة 4

انقُل $- 90$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $90$ إلى كلا الطرفين.

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 x^{2} + 160 x = 225 + 90$

خطوة 5

أكمل المربع لـ $- 20 x^{2} + 160 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 20$

$b = 160$

$c = 0$

خطوة 5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{160}{2 \cdot - 20}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $160$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $160$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot - 20}$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 (- 20)}$

خطوة 5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot - 20}$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{80}{- 20}$

خطوة 5.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $80$ و $- 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $20$ من $80$ .

$d = \frac{20 (4)}{- 20}$

خطوة 5.3.2.2.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$d = - 4$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{160^{2}}{4 \cdot - 20}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ارفع $160$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot - 20}$

خطوة 5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 20$ .

$e = 0 - \frac{25600}{- 80}$

خطوة 5.4.2.1.3

اقسِم $25600$ على $- 80$ .

$e = 0 - - 320$

خطوة 5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 320$ .

$e = 0 + 320$

خطوة 5.4.2.2

أضف $0$ و $320$ .

$e = 320$

خطوة 5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$ .

$- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$

خطوة 6

استبدِل $- 20 x^{2} + 160 x$ بـ $- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$ في المعادلة $10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} + 320 = 225 + 90$

خطوة 7

انقُل $320$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $320$ إلى كلا الطرفين.

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = 225 + 90 - 320$

خطوة 8

بسّط $225 + 90 - 320$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف $225$ و $90$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = 315 - 320$

خطوة 8.2

اطرح $320$ من $315$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = - 5$

خطوة 9

اعكس العلامة في كل حد من حدود المعادلة بحيث يصبح الحد الموجود على الجانب الأيمن موجبًا.

$- 10 {(y + 3)}^{2} + 20 {(x - 4)}^{2} = 5$

خطوة 10

اقسِم كل حد على $5$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$- \frac{10 {(y + 3)}^{2}}{5} + \frac{20 {(x - 4)}^{2}}{5} = \frac{5}{5}$

خطوة 11

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{\frac{1}{2}} = 1$