ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y - 23 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $23$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $9 x^{2} - 18 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 9}{9}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 9$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 18$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $324$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $9$ .

$e = 0 - 9$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $9$ من $0$ .

$e = - 9$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

خطوة 1.3

استبدِل $9 x^{2} - 18 x$ بـ $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ في المعادلة $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 4 y^{2} + 8 y = 23$

خطوة 1.4

انقُل $- 9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 23 + 9$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $4 y^{2} + 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{4}{4}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{4}{4}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $64$ على $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

خطوة 1.6

استبدِل $4 y^{2} + 8 y$ بـ $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ في المعادلة $9 x^{2} + 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 23 + 9$

خطوة 1.7

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 23 + 9 + 4$

خطوة 1.8

بسّط $23 + 9 + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $23$ و $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 32 + 4$

خطوة 1.8.2

أضف $32$ و $4$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 36$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $36$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 1$

$h = 1$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(1, - 1)$

خطوة 5