ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} + 6 y - 8 x - 31 = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اعزِل $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$6 y - 8 x - 31 = - y^{2}$

خطوة 1.1.1.2

اطرح $6 y$ من كلا المتعادلين.

$- 8 x - 31 = - y^{2} - 6 y$

خطوة 1.1.1.3

أضف $31$ إلى كلا المتعادلين.

$- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$

خطوة 1.1.2

اقسِم كل حد في $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ على $- 8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 8 x = - y^{2} - 6 y + 31$ على $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

خطوة 1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

خطوة 1.1.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 6 y}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 6 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 8} + \frac{31}{- 8}$

خطوة 1.1.2.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 8$ .

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (4)} + \frac{31}{- 8}$

خطوة 1.1.2.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 4} + \frac{31}{- 8}$

خطوة 1.1.2.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{31}{- 8}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $\frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} - \frac{31}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = \frac{1}{8}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = - \frac{31}{8}$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (\frac{1}{8})}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{8})}$

خطوة 1.2.3.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2}{8}}$

خطوة 1.2.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}}$

خطوة 1.2.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

خطوة 1.2.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

خطوة 1.2.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}}$

خطوة 1.2.3.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = \frac{3}{4} (1 \cdot 4)$

خطوة 1.2.3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.5.1

أخرِج العامل $4$ من $1 \cdot 4$ .

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

خطوة 1.2.3.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{3}{4} (4 \cdot 1)$

خطوة 1.2.3.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = 3$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{8})}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

خطوة 1.2.4.2.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 (\frac{1}{8})}$

خطوة 1.2.4.2.1.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (\frac{1}{8})}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4}{8}}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (1)}{8}}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{16} \cdot 2)$

خطوة 1.2.4.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.5.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 (8)} \cdot 2)$

خطوة 1.2.4.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = - \frac{31}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

خطوة 1.2.4.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = - \frac{31}{8} - \frac{9}{8}$

خطوة 1.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e = \frac{- 31 - 9}{8}$

خطوة 1.2.4.2.3

اطرح $9$ من $- 31$ .

$e = \frac{- 40}{8}$

خطوة 1.2.4.2.4

اقسِم $- 40$ على $8$ .

$e = - 5$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(y + 3)}^{2} - 5$

خطوة 1.3

عيّن قيمة $x$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y + 3)}^{2} - 5$

خطوة 2

استخدِم صيغة الرأس، $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 5$

$k = - 3$

خطوة 3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح على اليمين.

مفتوح على اليمين

خطوة 4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- 5, - 3)$

خطوة 5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

خطوة 5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

خطوة 5.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 \cdot 2$

خطوة 5.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي السيني $h$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا على اليسار أو على اليمين.

$(h + p, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 3, - 3)$

خطوة 7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$y = - 3$

خطوة 8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الرأسي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي السيني $h$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح على اليسار أو على اليمين.

$x = h - p$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $h$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$x = - 7$

خطوة 9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح على اليمين

الرأس: $(- 5, - 3)$

البؤرة: $(- 3, - 3)$

محور التناظر: $y = - 3$

الدليل: $x = - 7$

خطوة 10