ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{3} - 5 x^{2} \leq - 4 x + 21$

خطوة 1

أضِف $4 x$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x \leq 21$

خطوة 2

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 21$

خطوة 3

اطرح $21$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21 = 0$

خطوة 4

حلّل $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 4.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

خطوة 4.3

عوّض بـ $3$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $3$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بـ $3$ في متعدد الحدود.

$2 \cdot 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

خطوة 4.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot 27 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

خطوة 4.3.3

اضرب $2$ في $27$ .

$54 - 5 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 21$

خطوة 4.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$54 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 21$

خطوة 4.3.5

اضرب $- 5$ في $9$ .

$54 - 45 + 4 \cdot 3 - 21$

خطوة 4.3.6

اطرح $45$ من $54$ .

$9 + 4 \cdot 3 - 21$

خطوة 4.3.7

اضرب $4$ في $3$ .

$9 + 12 - 21$

خطوة 4.3.8

أضف $9$ و $12$ .

$21 - 21$

خطوة 4.3.9

اطرح $21$ من $21$ .

$0$

خطوة 4.4

بما أن $3$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21}{x - 3}$

خطوة 4.5

اقسِم $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ على $x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$21$

خطوة 4.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$

خطوة 4.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

خطوة 4.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} - 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

خطوة 4.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$

خطوة 4.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 4.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 4.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 4.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 4.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$

خطوة 4.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

خطوة 4.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $7 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$

خطوة 4.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							+	$7 x$	-	$21$

خطوة 4.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $7 x - 21$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$

خطوة 4.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$7$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$7 x$	-	$21$
							-	$7 x$	+	$21$
										$0$

خطوة 4.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$2 x^{2} + x + 7$

خطوة 4.6

اكتب $2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 21$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 6.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $2 x^{2} + x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $2 x^{2} + x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} + x + 7 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x^{2} + x + 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2.2

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 1$ و $c = 7$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 7)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.3.1.2.2

اضرب $- 8$ في $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.3.1.3

اطرح $56$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 55$ بالصيغة $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (55)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.4.1.2.2

اضرب $- 8$ في $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.4.1.3

اطرح $56$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 55$ بالصيغة $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (55)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.4.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{55})}{4}$

خطوة 7.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (- i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{55})}{4}$

خطوة 7.2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.5.1.2.2

اضرب $- 8$ في $7$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 56}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.5.1.3

اطرح $56$ من $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 55$ بالصيغة $- 1 (55)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (55)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.2.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.5.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{55}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{55})}{4}$

خطوة 7.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (i \sqrt{55})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{55})}{4}$

خطوة 7.2.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 3) (2 x^{2} + x + 7) = 0$ صحيحة.

$x = 3, - \frac{1 - i \sqrt{55}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{55}}{4}$

خطوة 9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq 3$

خطوة 10

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(- \infty, 3]$

خطوة 11