ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\log_{5} (2 x - 1)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\log_{5} (2 y - 1) = x$ .

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\log_{5} (2 y - 1) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y - 1$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 y - 1 = 5^{x}$ .

$2 y - 1 = 5^{x}$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y = 5^{x} + 1$

خطوة 2.3.3

اقسِم كل حد في $2 y = 5^{x} + 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم كل حد في $2 y = 5^{x} + 1$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ هي معكوس $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

خطوة 4.2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

خطوة 4.2.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

خطوة 4.2.5.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 4.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 4.2.6.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 4.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 4.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

خطوة 4.3.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $5^{x} + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

خطوة 4.3.4.2

أضف $5^{x}$ و $0$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

خطوة 4.3.5

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

خطوة 4.3.6

أساس اللوغاريتم $5$ لـ $5$ هو $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

خطوة 4.3.7

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ هي معكوس $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$