ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y - 47 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $47$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $9 x^{2} + 54 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{27}{9}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$d = 3$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $54$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $2916$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $81$ .

$e = 0 - 81$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $81$ من $0$ .

$e = - 81$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(x + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x + 3)}^{2} - 81$

خطوة 1.3

استبدِل $9 x^{2} + 54 x$ بـ $9 {(x + 3)}^{2} - 81$ في المعادلة $9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$ .

$9 {(x + 3)}^{2} - 81 + 16 y^{2} - 32 y = 47$

خطوة 1.4

انقُل $- 81$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $81$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 y^{2} - 32 y = 47 + 81$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $16 y^{2} - 32 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 32$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 16}{16}$

خطوة 1.5.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $16$ من $- 16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 32$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $16$ .

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $1024$ على $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$e = 0 - 16$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $16$ من $0$ .

$e = - 16$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ .

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

خطوة 1.6

استبدِل $16 y^{2} - 32 y$ بـ $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ في المعادلة $9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} - 16 = 47 + 81$

خطوة 1.7

انقُل $- 16$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $16$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 47 + 81 + 16$

خطوة 1.8

بسّط $47 + 81 + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $47$ و $81$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 128 + 16$

خطوة 1.8.2

أضف $128$ و $16$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 144$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $144$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{9 {(x + 3)}^{2}}{144} + \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 4$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 3$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 3, 1)$

خطوة 5