ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.3.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

خطوة 5.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

خطوة 5.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $4$ في $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

خطوة 5.3.3.2

أضف $4$ و $12$ .

$\sqrt{16}$

خطوة 5.3.3.3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, 2)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - 2)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h, k \pm a)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(0, 2), (0, - 2)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, 4)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - 4)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(0, 4), (0, - 4)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

خطوة 8.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

خطوة 8.3.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

خطوة 8.3.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

خطوة 8.3.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

خطوة 8.3.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

خطوة 8.3.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

خطوة 8.3.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

خطوة 8.3.1.5

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

خطوة 8.3.1.6

أضف $4$ و $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

خطوة 8.3.1.7

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

خطوة 8.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{4}{2}$

خطوة 8.3.2

اقسِم $4$ على $2$ .

$2$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

خطوة 9.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

خطوة 9.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

خطوة 9.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

خطوة 9.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

خطوة 9.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

خطوة 9.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3^{1}}{2}$

خطوة 9.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{3}{2}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$

خطوة 11

بسّط $\frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $\frac{\sqrt{3}}{3} x$ و $0$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{\sqrt{3}}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$

خطوة 12

بسّط $- \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $- \frac{\sqrt{3}}{3} x$ و $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$

خطوة 12.2

اجمع $x$ و $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 0)$

الرؤوس: $(0, 2), (0, - 2)$

البؤر: $(0, 4), (0, - 4)$

الاختلاف المركزي: $2$

المعلمة البؤرية: $\frac{3}{2}$

خطوط التقارب: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$ ، $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

خطوة 15