ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 4 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 4 x}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4}$

خطوة 1.1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4}$

خطوة 1.1.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x + 4)}$

خطوة 1.1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

خطوة 1.1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 1.1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

خطوة 1.1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x {(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $C$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) ({(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $5 x^{2} - 18 x + 24$ على $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $A ({(x - 2)}^{2})$ على $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A ({(x - 2)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.2

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A ((x - 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.3

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.4.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.4.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.4.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 4 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} + A (- 4 x) + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.7

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + \frac{B (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.7.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

خطوة 1.7.8

احذِف العامل المشترك لـ ${(x - 2)}^{2}$ و $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.8.1

أخرِج العامل $x - 2$ من $(C) (x {(x - 2)}^{2})$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{x - 2}$

خطوة 1.7.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.8.2.1

اضرب في $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

خطوة 1.7.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

خطوة 1.7.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{C (x (x - 2))}{1}$

خطوة 1.7.8.2.4

اقسِم $C (x (x - 2))$ على $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x (x - 2))$

خطوة 1.7.9

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 2)$

خطوة 1.7.10

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 2)$

خطوة 1.7.11

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} - 2 \cdot x)$

خطوة 1.7.12

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} + C (- 2 x)$

خطوة 1.7.13

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

خطوة 1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

انقُل $A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

خطوة 1.8.2

أعِد ترتيب $B$ و $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

خطوة 1.8.3

انقُل $4 A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + B x + C x^{2} - 2 C x + 4 A$

خطوة 1.8.4

انقُل $B x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + C x^{2} + B x - 2 C x + 4 A$

خطوة 1.8.5

انقُل $- 4 x A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} + C x^{2} - 4 x A + B x - 2 C x + 4 A$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$5 = A + C$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

خطوة 2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$24 = 4 A$

خطوة 2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$24 = 4 A$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$24 = 4 A$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $24 = 4 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 A = 24$ .

$4 A = 24$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

خطوة 3.1.2

اقسِم كل حد في $4 A = 24$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اقسِم كل حد في $4 A = 24$ على $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

خطوة 3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 A}{4} = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

خطوة 3.1.2.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

خطوة 3.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اقسِم $24$ على $4$ .

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $6$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $5 = A + C$ بـ $6$ .

$5 = (6) + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $- 18 = - 4 A + B - 2 C$ بـ $6$ .

$- 18 = - 4 \cdot 6 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $- 4$ في $6$ .

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $C$ في $5 = 6 + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $6 + C = 5$ .

$6 + C = 5$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$C = 5 - 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $6$ من $5$ .

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $- 18 = - 24 + B - 2 C$ بـ $- 1$ .

$- 18 = - 24 + B - 2 \cdot - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $- 24 + B - 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$- 18 = - 24 + B + 2$

$C = - 1$

$A = 6$

خطوة 3.4.2.1.2

أضف $- 24$ و $2$ .

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $B$ في $- 18 = B - 22$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $B - 22 = - 18$ .

$B - 22 = - 18$

$C = - 1$

$A = 6$

خطوة 3.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $22$ إلى كلا المتعادلين.

$B = - 18 + 22$

$C = - 1$

$A = 6$

خطوة 3.5.2.2

أضف $- 18$ و $22$ .

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

خطوة 3.6

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 4 C = - 1 A = 6$

خطوة 3.7

اسرِد جميع الحلول.

$B = 4, C = - 1, A = 6$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{6}{x} + \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 2}$