ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y + 221 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $221$ من كلا المتعادلين.

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $5 x^{2} - 80 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 5$

$b = - 80$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 80}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 80$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 80$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 (5)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 40}{5}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 40$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $- 40$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 8}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 8$ على $1$ .

$d = - 8$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 80)}^{2}}{4 \cdot 5}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 80$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{6400}{4 \cdot 5}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $5$ .

$e = 0 - \frac{6400}{20}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $6400$ على $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 320$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $320$ .

$e = 0 - 320$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $320$ من $0$ .

$e = - 320$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320$

خطوة 1.3

استبدِل $5 x^{2} - 80 x$ بـ $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ في المعادلة $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320 + 9 y^{2} + 54 y = - 221$

خطوة 1.4

انقُل $- 320$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $320$ إلى كلا الطرفين.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 221 + 320$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $9 y^{2} + 54 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{27}{9}$

خطوة 1.5.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$d = 3$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $54$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $2916$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $81$ .

$e = 0 - 81$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $81$ من $0$ .

$e = - 81$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

خطوة 1.6

استبدِل $9 y^{2} + 54 y$ بـ $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ في المعادلة $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 221 + 320$

خطوة 1.7

انقُل $- 81$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $81$ إلى كلا الطرفين.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 221 + 320 + 81$

خطوة 1.8

بسّط $- 221 + 320 + 81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $- 221$ و $320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 99 + 81$

خطوة 1.8.2

أضف $99$ و $81$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 180$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $180$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{5 {(x - 8)}^{2}}{180} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 8$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(8, - 3)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

خطوة 5.3.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

خطوة 5.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 5.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}$

خطوة 5.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}$

خطوة 5.3.3

اضرب $- (4 \cdot 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $4$ في $5$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 20}$

خطوة 5.3.3.2

اضرب $- 1$ في $20$ .

$\sqrt{36 - 20}$

خطوة 5.3.4

اطرح $20$ من $36$ .

$\sqrt{16}$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

خطوة 5.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(8 + 6, - 3)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(14, - 3)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(8 - (6), - 3)$

خطوة 6.6

بسّط.

$(2, - 3)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(8 + 4, - 3)$

خطوة 7.3

بسّط.

$(12, - 3)$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع ناقص بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(8 - (4), - 3)$

خطوة 7.6

بسّط.

$(4, - 3)$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

خطوة 8.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

خطوة 8.3.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

خطوة 8.3.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

خطوة 8.3.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

خطوة 8.3.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

خطوة 8.3.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}}{6}$

خطوة 8.3.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}}{6}$

خطوة 8.3.1.5

اضرب $- (4 \cdot 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.1

اضرب $4$ في $5$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 20}}{6}$

خطوة 8.3.1.5.2

اضرب $- 1$ في $20$ .

$\frac{\sqrt{36 - 20}}{6}$

خطوة 8.3.1.6

اطرح $20$ من $36$ .

$\frac{\sqrt{16}}{6}$

خطوة 8.3.1.7

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{6}$

خطوة 8.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{4}{6}$

خطوة 8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (2)}{6}$

خطوة 8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{3}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(8, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

الاختلاف المركزي: $\frac{2}{3}$

خطوة 10