ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$z^{3} = - 512$

خطوة 1

أضف $512$ إلى كلا المتعادلين.

$z^{3} + 512 = 0$

خطوة 2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $512$ بالصيغة $8^{3}$ .

$z^{3} + 8^{3} = 0$

خطوة 2.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = z$ و $b = 8$ .

$(z + 8) (z^{2} - z \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$(z + 8) (z^{2} - 8 z + 8^{2}) = 0$

خطوة 2.3.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$(z + 8) (z^{2} - 8 z + 64) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$z + 8 = 0$

$z^{2} - 8 z + 64 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $z + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $z + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z + 8 = 0$

خطوة 4.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$z = - 8$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $z^{2} - 8 z + 64$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $z^{2} - 8 z + 64$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z^{2} - 8 z + 64 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $z$ في $z^{2} - 8 z + 64 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 8$ و $c = 64$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $z$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $64$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.3

اطرح $256$ من $64$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 192$ بالصيغة $- 1 (192)$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (192)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$z = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$z = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.7

أعِد كتابة $192$ بالصيغة $8^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $64$ من $192$ .

$z = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$z = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$z = \frac{8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.1.9

انقُل $8$ إلى يسار $i$ .

$z = \frac{8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$z = \frac{8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.2.3.3

بسّط $\frac{8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$z = 4 + 4 i \sqrt{3}, 4 - 4 i \sqrt{3}$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(z + 8) (z^{2} - 8 z + 64) = 0$ صحيحة.

$z = - 8, 4 + 4 i \sqrt{3}, 4 - 4 i \sqrt{3}$