ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x - 5 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $4 x^{2} + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{4}{4}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{4}{4}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $64$ على $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

خطوة 1.3

استبدِل $4 x^{2} + 8 x$ بـ $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ في المعادلة $4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + y^{2} = 5$

خطوة 1.4

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5 + 4$

خطوة 1.5

أضف $5$ و $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 9$

خطوة 1.6

اقسِم كل حد على $9$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 3$

$b = \frac{3}{2}$

$k = 0$

$h = - 1$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 1, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 5.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}$

خطوة 5.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{4}}$

خطوة 5.3.5

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

خطوة 5.3.6

اجمع $9$ و $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

خطوة 5.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}$

خطوة 5.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

اضرب $9$ في $4$ .

$\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}$

خطوة 5.3.8.2

اطرح $9$ من $36$ .

$\sqrt{\frac{27}{4}}$

خطوة 5.3.9

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{27}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.1.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.10.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.10.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.11

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.11.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 5.3.11.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1, 0 + 3)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(- 1, 3)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1, 0 - (3))$

خطوة 6.6

بسّط.

$(- 1, - 3)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1, 0 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

خطوة 7.3

بسّط.

$(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1, 0 - (\frac{3 \sqrt{3}}{2}))$

خطوة 7.6

بسّط.

$(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

خطوة 8.3.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{3}$

خطوة 8.3.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}}{3}$

خطوة 8.3.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.5

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.6

اجمع $9$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.8.1

اضرب $9$ في $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.8.2

اطرح $9$ من $36$ .

$\frac{\sqrt{\frac{27}{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.9

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{27}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.10.1

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.10.1.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.10.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.10.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{3}$

خطوة 8.3.1.11

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.11.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{3}$

خطوة 8.3.1.11.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3}$

خطوة 8.3.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 8.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 8.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 8.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 10