ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{x^{2}}{144}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{144}$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $- 25$ .

$- 25 (- \frac{y^{2}}{25}) = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط $- 25 (- \frac{y^{2}}{25})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y^{2}}{25}$ إلى بسط الكسر.

$- 25 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3.1.1.1.2

أخرِج العامل $25$ من $- 25$ .

$25 (- 1) \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$25 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3.1.1.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3.1.1.2.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $- 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = - 25 \cdot 1 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $- 25$ في $1$ .

$y^{2} = - 25 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $- 25 (- \frac{x^{2}}{144})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 25$ .

$y^{2} = - 25 + 25 \frac{x^{2}}{144}$

خطوة 3.2.1.3.2

اجمع $25$ و $\frac{x^{2}}{144}$ .

$y^{2} = - 25 + \frac{25 x^{2}}{144}$

خطوة 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $25 x^{2}$ بالصيغة ${(5 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{144}}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $144$ بالصيغة $12^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $\frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 5^{2} + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

خطوة 5.4.2

أعِد ترتيب $- 5^{2}$ و ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5 x}{12})}^{2} - 5^{2}}$

خطوة 5.5

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{5 x}{12}$ و $b = 5$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $5$ من $\frac{5 x}{12} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

أخرِج العامل $5$ من $\frac{5 x}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

خطوة 5.6.1.2

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5 (1)) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

خطوة 5.6.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 \frac{x}{12} + 5 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

خطوة 5.6.2

أخرِج العامل $5$ من $\frac{5 x}{12} - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $\frac{5 x}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} - 5)}$

خطوة 5.6.2.2

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} + 5 (- 1))}$

خطوة 5.6.2.3

أخرِج العامل $5$ من $5 \frac{x}{12} + 5 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 (\frac{x}{12} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) \cdot 5 (\frac{x}{12} - 1)}$

خطوة 5.6.3

اضرب $5$ في $5$ .

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{x}{12} - 1)}$

خطوة 5.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + \frac{12}{12}) (\frac{x}{12} - 1)}$

خطوة 5.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1)}$

خطوة 5.9

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12})}$

خطوة 5.10

اجمع $- 1$ و $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12})}$

خطوة 5.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 1 \cdot 12}{12}}$

خطوة 5.12

اضرب $- 1$ في $12$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 12}{12}}$

خطوة 5.13

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.1

اجمع $25$ و $\frac{x + 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12)}{12} \cdot \frac{x - 12}{12}}$

خطوة 5.13.2

اضرب $\frac{25 (x + 12)}{12}$ في $\frac{x - 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{12 \cdot 12}}$

خطوة 5.13.3

اضرب $12$ في $12$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}}$

خطوة 5.14

أعِد كتابة $\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}$ بالصيغة ${(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.14.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $5^{2}$ من $25 (x + 12) (x - 12)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{144}}$

خطوة 5.14.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $12^{2}$ من $144$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}}$

خطوة 5.14.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))}$

خطوة 5.15

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{5}{12} \sqrt{(x + 12) (x - 12)}$

خطوة 5.16

اجمع $\frac{5}{12}$ و $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

خطوة 6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

خطوة 6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

خطوة 7

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(x + 12) (x - 12) \geq 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 12 = 0$

$x - 12 = 0$

خطوة 8.2

عيّن قيمة العبارة $x + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عيّن قيمة $x + 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 12 = 0$

خطوة 8.2.2

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$x = - 12$

خطوة 8.3

عيّن قيمة العبارة $x - 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عيّن قيمة $x - 12$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 12 = 0$

خطوة 8.3.2

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 12$

خطوة 8.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 12) (x - 12) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 12, 12$

خطوة 8.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 12$

$- 12 < x < 12$

$x > 12$

خطوة 8.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 12$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 12$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 14$

خطوة 8.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 14$ في المتباينة الأصلية.

$((- 14) + 12) ((- 14) - 12) \geq 0$

خطوة 8.6.1.3

الطرف الأيسر $52$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 12 < x < 12$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 12 < x < 12$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 8.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$((0) + 12) ((0) - 12) \geq 0$

خطوة 8.6.2.3

الطرف الأيسر $- 144$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 12$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 12$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 14$

خطوة 8.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $14$ في المتباينة الأصلية.

$((14) + 12) ((14) - 12) \geq 0$

خطوة 8.6.3.3

الطرف الأيسر $52$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 12$ صحيحة

$- 12 < x < 12$ خطأ

$x > 12$ صحيحة

$x < - 12$ صحيحة

$- 12 < x < 12$ خطأ

$x > 12$ صحيحة

خطوة 8.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - 12$ أو $x \geq 12$

خطوة 9

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 12] \cup [12, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \leq - 12, x \geq 12}$

خطوة 10

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${y | y \in ℝ}$

خطوة 11

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $(- \infty, - 12] \cup [12, \infty), {x | x \leq - 12, x \geq 12}$

المدى: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

خطوة 12