ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y + 8 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $8 x^{2} - 32 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 8$

$b = - 32$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 8}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 32$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (8)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 16}{8}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $8$ من $- 16$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 8}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 32$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 8}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $8$ .

$e = 0 - \frac{1024}{32}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $1024$ على $32$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $32$ .

$e = 0 - 32$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $32$ من $0$ .

$e = - 32$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32$

خطوة 1.3

استبدِل $8 x^{2} - 32 x$ بـ $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ في المعادلة $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32 + 6 y^{2} + 24 y = - 8$

خطوة 1.4

انقُل $- 32$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $32$ إلى كلا الطرفين.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 y^{2} + 24 y = - 8 + 32$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $6 y^{2} + 24 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 6$

$b = 24$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 6}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (6)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{12}{6}$

خطوة 1.5.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$d = \frac{6 \cdot 2}{6}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$d = 2$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 6}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $24$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 6}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $6$ .

$e = 0 - \frac{576}{24}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $576$ على $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 24$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $24$ .

$e = 0 - 24$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $24$ من $0$ .

$e = - 24$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ .

$6 {(y + 2)}^{2} - 24$

خطوة 1.6

استبدِل $6 y^{2} + 24 y$ بـ $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ في المعادلة $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} - 24 = - 8 + 32$

خطوة 1.7

انقُل $- 24$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $24$ إلى كلا الطرفين.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = - 8 + 32 + 24$

خطوة 1.8

بسّط $- 8 + 32 + 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $- 8$ و $32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 24 + 24$

خطوة 1.8.2

أضف $24$ و $24$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 48$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $48$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{48} + \frac{6 {(y + 2)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{6} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{6}$

$k = - 2$

$h = 2$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(2, - 2)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.3

اضرب $4$ في $2$ .

$\sqrt{8 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.3.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.3.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{8 - 6^{1}}$

خطوة 5.3.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 6}$

خطوة 5.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\sqrt{8 - 6}$

خطوة 5.3.5.2

اطرح $6$ من $8$ .

$\sqrt{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

خطوة 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, - 2 - (2 \sqrt{2}))$

خطوة 6.5

بسّط.

$(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

خطوة 6.6

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, - 2 + \sqrt{2})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, - 2 - (\sqrt{2}))$

خطوة 7.5

بسّط.

$(2, - 2 - \sqrt{2})$

خطوة 7.6

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.6

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.7

اطرح $6$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(2, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

الاختلاف المركزي: $\frac{1}{2}$

خطوة 10