ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

خطوة 2

اقسِم ${(y - 3)}^{2}$ على $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

خطوة 3

بسّط $1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

خطوة 3.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

خطوة 3.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = x - 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

خطوة 3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح $2$ من $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

خطوة 3.2.3.2

أضف $x$ و $0$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

خطوة 3.2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

خطوة 3.2.3.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

خطوة 3.2.3.5

أضف $2$ و $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

خطوة 3.3

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

خطوة 3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أعِد كتابة $- (x - 4)$ بالصيغة $- 1 (x - 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

خطوة 3.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

خطوة 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $- \frac{x (x - 4)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $x (x - 4)$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

خطوة 5.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 5.1.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

خطوة 5.1.4

أعِد ترتيب $- 1$ و ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

خطوة 5.1.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

خطوة 5.1.6

أضف الأقواس.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

خطوة 5.1.7

أضف الأقواس.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

خطوة 5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

خطوة 5.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

خطوة 5.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{- x (x - 4)}$ .

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

خطوة 6.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

خطوة 6.3

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

خطوة 6.4

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

خطوة 6.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

خطوة 7

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{- x (x - 4)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$- x (x - 4) \geq 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 8.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 8.3

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 8.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 8.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- x (x - 4) \geq 0$ صحيحة.

$x = 0, 4$

خطوة 8.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 8.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 8.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

خطوة 8.6.1.3

الطرف الأيسر $- 12$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.2

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 8.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

خطوة 8.6.2.3

الطرف الأيسر $4$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 8.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

خطوة 8.6.3.3

الطرف الأيسر $- 12$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

خطوة 8.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 \leq x \leq 4$

خطوة 9

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[0, 4]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | 0 \leq x \leq 4}$

خطوة 10

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[2, 4]$

ترميز بناء المجموعات:

${y | 2 \leq y \leq 4}$

خطوة 11

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

المدى: $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

خطوة 12