ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{x^{2}}{100}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

خطوة 3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

خطوة 3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

خطوة 3.2.1.1.2

اضرب $64$ في $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

خطوة 3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{100}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

خطوة 3.2.1.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $64$ .

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

خطوة 3.2.1.1.3.3

أخرِج العامل $4$ من $100$ .

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

خطوة 3.2.1.1.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

خطوة 3.2.1.1.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

خطوة 3.2.1.1.4

اجمع $16$ و $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

خطوة 3.2.1.1.5

اضرب $- 1$ في $16$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

خطوة 3.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

خطوة 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $\frac{16 x^{2}}{25}$ بالصيغة ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

خطوة 5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 8$ و $b = \frac{4 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.3

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $8$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8 \cdot 5 + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.5.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.5.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.5.2

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.6

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $8$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

خطوة 5.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

خطوة 5.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8 \cdot 5 - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

خطوة 5.8.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

خطوة 5.8.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

خطوة 5.8.2

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

خطوة 5.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اضرب $\frac{4 (10 + x)}{5}$ في $\frac{4 (10 - x)}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

خطوة 5.9.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

اضرب $4$ في $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

خطوة 5.9.2.2

اضرب $5$ في $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

خطوة 5.10

أعِد كتابة $\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ بالصيغة ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أخرِج عامل القوة الكاملة ${(2^{2})}^{2}$ من $16 (10 + x) (10 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

خطوة 5.10.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $5^{2}$ من $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

خطوة 5.10.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

خطوة 5.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

خطوة 5.12

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

خطوة 5.13

اجمع $\frac{4}{5}$ و $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

خطوة 6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

خطوة 6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

خطوة 7

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

خطوة 8.2

عيّن قيمة العبارة $10 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عيّن قيمة $10 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 + x = 0$

خطوة 8.2.2

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$x = - 10$

خطوة 8.3

عيّن قيمة العبارة $10 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عيّن قيمة $10 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 - x = 0$

خطوة 8.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $10 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 10$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 10$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 10$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.3.1

اقسِم $- 10$ على $- 1$ .

$x = 10$

خطوة 8.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(10 + x) (10 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 10, 10$

خطوة 8.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

خطوة 8.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 10$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 10$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 12$

خطوة 8.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 12$ في المتباينة الأصلية.

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

خطوة 8.6.1.3

الطرف الأيسر $- 44$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 10 < x < 10$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 10 < x < 10$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 8.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

خطوة 8.6.2.3

الطرف الأيسر $100$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 10$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 10$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 12$

خطوة 8.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $12$ في المتباينة الأصلية.

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

خطوة 8.6.3.3

الطرف الأيسر $- 44$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 10$ خطأ

$- 10 < x < 10$ صحيحة

$x > 10$ خطأ

$x < - 10$ خطأ

$- 10 < x < 10$ صحيحة

$x > 10$ خطأ

خطوة 8.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 10 \leq x \leq 10$

خطوة 9

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 10, 10]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

خطوة 10

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- 8, 8]$

ترميز بناء المجموعات:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

خطوة 11

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

المدى: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

خطوة 12