ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} - 17 x - 4 = 0$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(- 4)}^{3} - 17 \cdot - 4 - 4$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 4$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$- 64 - 17 \cdot - 4 - 4$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 17$ في $- 4$ .

$- 64 + 68 - 4$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $- 64$ و $68$ .

$4 - 4$

خطوة 4.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 4$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 4$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 17 x - 4}{x + 4}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 4$	$1$	$0$	$- 17$	$- 4$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 4$	$1$	$0$	$- 17$	$- 4$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 4)$ وضَع نتيجة $(- 4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$- 4$	$1$	$0$	$- 17$	$- 4$
		$- 4$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 4$	$1$	$0$	$- 17$	$- 4$
		$- 4$
	$1$	$- 4$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 4)$ في المقسوم عليه $(- 4)$ وضَع نتيجة $(16)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 17)$ .

$- 4$	$1$	$0$	$- 17$	$- 4$
		$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 4$	$1$	$0$	$- 17$	$- 4$
		$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 1$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 1)$ في المقسوم عليه $(- 4)$ وضَع نتيجة $(4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 4)$ .

$- 4$	$1$	$0$	$- 17$	$- 4$
		$- 4$	$16$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 1$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 4$	$1$	$0$	$- 17$	$- 4$
		$- 4$	$16$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 1$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + - 4 x - 1$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} - 4 x - 1$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 4$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

أضف $16$ و $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 7.3.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 7.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.3

أضف $16$ و $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 7.4.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 7.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 2 + \sqrt{5}$

خطوة 7.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3

أضف $16$ و $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 7.5.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 7.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 2 - \sqrt{5}$

خطوة 7.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x + 4) (x - 2 - \sqrt{5}) (x - 2 + \sqrt{5})$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $x^{3} - 17 x - 4$ .

$x = - 4, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = - 4, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

الصيغة العشرية:

$x = - 4, 4.23606797 \dots, - 0.23606797 \dots$

خطوة 11