ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} + 24 x + 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $24 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

خطوة 1.1.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

خطوة 1.1.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

خطوة 1.1.2

حلّل $x^{2} - 8 x + 7$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $7$ ومجموعهما $- 8$ .

$- 7, - 1$

خطوة 1.1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{(x - 7) (x - 1)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 7}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 7) (x - 1)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $3 (- x^{2} + 8 x + 7)$ على $1$ .

$3 (- x^{2} + 8 x + 7) = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.8.2

اضرب $8$ في $3$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.8.3

اضرب $3$ في $7$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{A (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.9.1.2

اقسِم $(A) (x - 1)$ على $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.9.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.9.4

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.9.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.9.5.2

اقسِم $(B) (x - 7)$ على $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + (B) (x - 7)$

خطوة 1.9.6

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x + B \cdot - 7$

خطوة 1.9.7

انقُل $- 7$ إلى يسار $B$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x - 7 B$

خطوة 1.10

انقُل $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + B x - A - 7 B$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$24 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$21 = - 1 A - 7 B$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $24 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 24$ .

$A + B = 24$

$21 = - 1 A - 7 B$

خطوة 3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $24 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $21 = - 1 A - 7 B$ بـ $24 - B$ .

$21 = - 1 (24 - B) - 7 B$

$A = 24 - B$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 1 (24 - B) - 7 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$21 = - 1 \cdot 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اضرب $- 1$ في $24$ .

$21 = - 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1 (- B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$21 = - 24 + 1 B - 7 B$

$A = 24 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.3.2

اضرب $B$ في $1$ .

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

خطوة 3.2.2.1.2

اطرح $7 B$ من $B$ .

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $21 = - 24 - 6 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 24 - 6 B = 21$ .

$- 24 - 6 B = 21$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $24$ إلى كلا المتعادلين.

$- 6 B = 21 + 24$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.2.2

أضف $21$ و $24$ .

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $- 6 B = 45$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $- 6 B = 45$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $45$ و $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $45$ .

$B = \frac{3 (15)}{- 6}$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

خطوة 3.3.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- \frac{15}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 24 - B$ بـ $- \frac{15}{2}$ .

$A = 24 - (- \frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $24 - (- \frac{15}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب $- (- \frac{15}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A = 24 + 1 (\frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

اضرب $\frac{15}{2}$ في $1$ .

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

لكتابة $24$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$A = 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

خطوة 3.4.2.1.3

اجمع $24$ و $\frac{2}{2}$ .

$A = \frac{24 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

خطوة 3.4.2.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A = \frac{24 \cdot 2 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

خطوة 3.4.2.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.5.1

اضرب $24$ في $2$ .

$A = \frac{48 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

خطوة 3.4.2.1.5.2

أضف $48$ و $15$ .

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = \frac{63}{2}, B = - \frac{15}{2}$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{63}{2}}{x - 7} + \frac{- \frac{15}{2}}{x - 1}$