ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{1}{2}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{1}{2}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = 1$ و $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

خطوة 4

اضرب ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ في $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

خطوة 5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

خطوة 6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

خطوة 7

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 8

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{7}$ .

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 9

اضرب $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ في $1$ .

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 10.2

اجمع.

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

خطوة 11

طبّق خاصية التوزيع.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

خطوة 12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ألغِ العامل المشترك.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

خطوة 12.2

أعِد كتابة العبارة.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{7}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.4

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.6

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.7

اجمع $- 2$ و $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1

اضرب $- 2$ في $64$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.9.2

اطرح $128$ من $1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 13.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

خطوة 14

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

خطوة 14.2

اطرح $2$ من $1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

خطوة 15

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

خطوة 15.2

اقسِم $\frac{127}{64}$ على $1$ .

$S_{7} = \frac{127}{64}$