ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{169} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{81} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{169} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{81} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 13$

$b = 9$

$k = - 2$

$h = 3$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(3, - 2)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(13)}^{2} + {(9)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $13$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{169 + {(9)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{169 + 81}$

خطوة 5.3.3

أضف $169$ و $81$ .

$\sqrt{250}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $250$ بالصيغة $5^{2} \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $25$ من $250$ .

$\sqrt{25 (10)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2} \cdot 10}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$5 \sqrt{10}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(16, - 2)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 10, - 2)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(16, - 2), (- 10, - 2)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3 + 5 \sqrt{10}, - 2)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3 - 5 \sqrt{10}, - 2)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(3 + 5 \sqrt{10}, - 2), (3 - 5 \sqrt{10}, - 2)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(13)}^{2} + {(9)}^{2}}}{13}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $13$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{169 + 9^{2}}}{13}$

خطوة 8.3.2

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{169 + 81}}{13}$

خطوة 8.3.3

أضف $169$ و $81$ .

$\frac{\sqrt{250}}{13}$

خطوة 8.3.4

أعِد كتابة $250$ بالصيغة $5^{2} \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

أخرِج العامل $25$ من $250$ .

$\frac{\sqrt{25 (10)}}{13}$

خطوة 8.3.4.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 10}}{13}$

خطوة 8.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{5 \sqrt{10}}{13}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{9^{2}}{5 \sqrt{10}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$\frac{81}{5 \sqrt{10}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{81}{5 \sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{81}{5 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{81}{5 \sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 9.3.3.2

انقُل $\sqrt{10}$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

خطوة 9.3.3.4

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

خطوة 9.3.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 {\sqrt{10}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.7

أعِد كتابة ${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 \cdot 10^{1}}$

خطوة 9.3.3.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{81 \sqrt{10}}{5 \cdot 10}$

خطوة 9.3.4

اضرب $5$ في $10$ .

$\frac{81 \sqrt{10}}{50}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{9}{13} \cdot (x - (3)) - 2$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{9}{13} \cdot (x - (3)) - 2$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{9}{13} \cdot (x - (3)) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = \frac{9}{13} \cdot (x - 3) - 2$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{9}{13} x + \frac{9}{13} \cdot - 3 - 2$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{9}{13}$ و $x$ .

$y = \frac{9 x}{13} + \frac{9}{13} \cdot - 3 - 2$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $\frac{9}{13} \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

اجمع $\frac{9}{13}$ و $- 3$ .

$y = \frac{9 x}{13} + \frac{9 \cdot - 3}{13} - 2$

خطوة 11.2.1.4.2

اضرب $9$ في $- 3$ .

$y = \frac{9 x}{13} + \frac{- 27}{13} - 2$

خطوة 11.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{9 x}{13} - \frac{27}{13} - 2$

خطوة 11.2.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{13}{13}$ .

$y = \frac{9 x}{13} - \frac{27}{13} - 2 \cdot \frac{13}{13}$

خطوة 11.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{13}{13}$ .

$y = \frac{9 x}{13} - \frac{27}{13} + \frac{- 2 \cdot 13}{13}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{9 x}{13} + \frac{- 27 - 2 \cdot 13}{13}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $- 2$ في $13$ .

$y = \frac{9 x}{13} + \frac{- 27 - 26}{13}$

خطوة 11.2.5.2

اطرح $26$ من $- 27$ .

$y = \frac{9 x}{13} + \frac{- 53}{13}$

خطوة 11.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{9 x}{13} - \frac{53}{13}$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{9}{13} \cdot (x - (3)) - 2$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{9}{13} \cdot (x - (3)) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = - \frac{9}{13} \cdot (x - 3) - 2$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{9}{13} x - \frac{9}{13} \cdot - 3 - 2$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{9}{13}$ .

$y = - \frac{x \cdot 9}{13} - \frac{9}{13} \cdot - 3 - 2$

خطوة 12.2.1.4

اضرب $- \frac{9}{13} \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 9}{13} + 3 (\frac{9}{13}) - 2$

خطوة 12.2.1.4.2

اجمع $3$ و $\frac{9}{13}$ .

$y = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{3 \cdot 9}{13} - 2$

خطوة 12.2.1.4.3

اضرب $3$ في $9$ .

$y = - \frac{x \cdot 9}{13} + \frac{27}{13} - 2$

خطوة 12.2.1.5

انقُل $9$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} - 2$

خطوة 12.2.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{13}{13}$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} - 2 \cdot \frac{13}{13}$

خطوة 12.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{13}{13}$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27}{13} + \frac{- 2 \cdot 13}{13}$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27 - 2 \cdot 13}{13}$

خطوة 12.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.5.1

اضرب $- 2$ في $13$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{27 - 26}{13}$

خطوة 12.2.5.2

اطرح $26$ من $27$ .

$y = - \frac{9 x}{13} + \frac{1}{13}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{9 x}{13} - \frac{53}{13}, y = - \frac{9 x}{13} + \frac{1}{13}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(3, - 2)$

الرؤوس: $(16, - 2), (- 10, - 2)$

البؤر: $(3 + 5 \sqrt{10}, - 2), (3 - 5 \sqrt{10}, - 2)$

الاختلاف المركزي: $\frac{5 \sqrt{10}}{13}$

المعلمة البؤرية: $\frac{81 \sqrt{10}}{50}$

خطوط التقارب: $y = \frac{9 x}{13} - \frac{53}{13}$ ، $y = - \frac{9 x}{13} + \frac{1}{13}$

خطوة 15