ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$25 x^{2} + 16 y^{2} - 600 x + 640 y = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أكمل المربع لـ $25 x^{2} - 600 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 25$

$b = - 600$

$c = 0$

خطوة 1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 600}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 600$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 600$ .

$d = \frac{2 \cdot - 300}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 300}{2 (25)}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 300}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 300}{25}$

خطوة 1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 300$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $- 300$ .

$d = \frac{25 \cdot - 12}{25}$

خطوة 1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 12}{25 (1)}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{25 \cdot - 12}{25 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 12}{1}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.4

اقسِم $- 12$ على $1$ .

$d = - 12$

خطوة 1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 600)}^{2}}{4 \cdot 25}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

ارفع $- 600$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{360000}{4 \cdot 25}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $25$ .

$e = 0 - \frac{360000}{100}$

خطوة 1.1.4.2.1.3

اقسِم $360000$ على $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3600$

خطوة 1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $3600$ .

$e = 0 - 3600$

خطوة 1.1.4.2.2

اطرح $3600$ من $0$ .

$e = - 3600$

خطوة 1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $25 {(x - 12)}^{2} - 3600$ .

$25 {(x - 12)}^{2} - 3600$

خطوة 1.2

استبدِل $25 x^{2} - 600 x$ بـ $25 {(x - 12)}^{2} - 3600$ في المعادلة $25 x^{2} + 16 y^{2} - 600 x + 640 y = 0$ .

$25 {(x - 12)}^{2} - 3600 + 16 y^{2} + 640 y = 0$

خطوة 1.3

انقُل $- 3600$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $3600$ إلى كلا الطرفين.

$25 {(x - 12)}^{2} + 16 y^{2} + 640 y = 0 + 3600$

خطوة 1.4

أكمل المربع لـ $16 y^{2} + 640 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 16$

$b = 640$

$c = 0$

خطوة 1.4.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.4.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{640}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $640$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $640$ .

$d = \frac{2 \cdot 320}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 320}{2 (16)}$

خطوة 1.4.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 320}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.4.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{320}{16}$

خطوة 1.4.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $320$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.2.1

أخرِج العامل $16$ من $320$ .

$d = \frac{16 \cdot 20}{16}$

خطوة 1.4.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 20}{16 (1)}$

خطوة 1.4.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{16 \cdot 20}{16 \cdot 1}$

خطوة 1.4.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{20}{1}$

خطوة 1.4.3.2.2.2.4

اقسِم $20$ على $1$ .

$d = 20$

خطوة 1.4.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{640^{2}}{4 \cdot 16}$

خطوة 1.4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1.1

ارفع $640$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{409600}{4 \cdot 16}$

خطوة 1.4.4.2.1.2

اضرب $4$ في $16$ .

$e = 0 - \frac{409600}{64}$

خطوة 1.4.4.2.1.3

اقسِم $409600$ على $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 6400$

خطوة 1.4.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $6400$ .

$e = 0 - 6400$

خطوة 1.4.4.2.2

اطرح $6400$ من $0$ .

$e = - 6400$

خطوة 1.4.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $16 {(y + 20)}^{2} - 6400$ .

$16 {(y + 20)}^{2} - 6400$

خطوة 1.5

استبدِل $16 y^{2} + 640 y$ بـ $16 {(y + 20)}^{2} - 6400$ في المعادلة $25 x^{2} + 16 y^{2} - 600 x + 640 y = 0$ .

$25 {(x - 12)}^{2} + 16 {(y + 20)}^{2} - 6400 = 0 + 3600$

خطوة 1.6

انقُل $- 6400$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $6400$ إلى كلا الطرفين.

$25 {(x - 12)}^{2} + 16 {(y + 20)}^{2} = 0 + 3600 + 6400$

خطوة 1.7

بسّط $0 + 3600 + 6400$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أضف $0$ و $3600$ .

$25 {(x - 12)}^{2} + 16 {(y + 20)}^{2} = 3600 + 6400$

خطوة 1.7.2

أضف $3600$ و $6400$ .

$25 {(x - 12)}^{2} + 16 {(y + 20)}^{2} = 10000$

خطوة 1.8

اقسِم كل حد على $10000$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{25 {(x - 12)}^{2}}{10000} + \frac{16 {(y + 20)}^{2}}{10000} = \frac{10000}{10000}$

خطوة 1.9

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 12)}^{2}}{400} + \frac{{(y + 20)}^{2}}{625} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 25$

$b = 20$

$k = - 20$

$h = 12$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(12, - 20)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(25)}^{2} - {(20)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $25$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{625 - {(20)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $20$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{625 - 1 \cdot 400}$

خطوة 5.3.3

اضرب $- 1$ في $400$ .

$\sqrt{625 - 400}$

خطوة 5.3.4

اطرح $400$ من $625$ .

$\sqrt{225}$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $225$ بالصيغة $15^{2}$ .

$\sqrt{15^{2}}$

خطوة 5.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$15$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(12, - 20 + 25)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(12, 5)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(12, - 20 - (25))$

خطوة 6.6

بسّط.

$(12, - 45)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(12, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(12, - 45)$

${Vertex}_{1}$ : $(12, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(12, - 45)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(12, - 20 + 15)$

خطوة 7.3

بسّط.

$(12, - 5)$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(12, - 20 - (15))$

خطوة 7.6

بسّط.

$(12, - 35)$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(12, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(12, - 35)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(12, - 35)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(25)}^{2} - {(20)}^{2}}}{25}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $25$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{625 - 20^{2}}}{25}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $20$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{625 - 1 \cdot 400}}{25}$

خطوة 8.3.1.3

اضرب $- 1$ في $400$ .

$\frac{\sqrt{625 - 400}}{25}$

خطوة 8.3.1.4

اطرح $400$ من $625$ .

$\frac{\sqrt{225}}{25}$

خطوة 8.3.1.5

أعِد كتابة $225$ بالصيغة $15^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15^{2}}}{25}$

خطوة 8.3.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{15}{25}$

خطوة 8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$\frac{5 (3)}{25}$

خطوة 8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $25$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5}$

خطوة 8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5}$

خطوة 8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{5}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(12, - 20)$

${Vertex}_{1}$ : $(12, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(12, - 45)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 5)$

${Focus}_{2}$ : $(12, - 35)$

الاختلاف المركزي: $\frac{3}{5}$

خطوة 10