ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

خطوة 5.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 5.3.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

خطوة 5.3.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

خطوة 5.3.7

لكتابة $\frac{1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

خطوة 5.3.8

لكتابة $- \frac{1}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

خطوة 5.3.9

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $36$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

خطوة 5.3.9.2

اضرب $4$ في $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

خطوة 5.3.9.3

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

خطوة 5.3.9.4

اضرب $9$ في $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

خطوة 5.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

خطوة 5.3.11

اطرح $4$ من $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

خطوة 5.3.12

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{5}{36}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

خطوة 5.3.13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.13.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

خطوة 5.3.13.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 + \frac{1}{2}, 0)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(\frac{1}{2}, 0)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 - (\frac{1}{2}), 0)$

خطوة 6.6

بسّط.

$(- \frac{1}{2}, 0)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 + \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

خطوة 7.3

بسّط.

$(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع ناقص بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}), 0)$

خطوة 7.6

بسّط.

$(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

خطوة 8.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

خطوة 8.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

خطوة 8.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

خطوة 8.3.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

خطوة 8.3.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

خطوة 8.3.7

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

خطوة 8.3.8

لكتابة $\frac{1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

خطوة 8.3.9

لكتابة $- \frac{1}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

خطوة 8.3.10

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $36$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.10.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

خطوة 8.3.10.2

اضرب $4$ في $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

خطوة 8.3.10.3

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

خطوة 8.3.10.4

اضرب $9$ في $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

خطوة 8.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

خطوة 8.3.12

اطرح $4$ من $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

خطوة 8.3.13

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{5}{36}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

خطوة 8.3.14

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.14.1

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

خطوة 8.3.14.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

خطوة 8.3.15

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.15.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

خطوة 8.3.15.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

خطوة 8.3.15.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

خطوة 10