ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{8} 7 {(\frac{1}{10})}^{k}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ و ${(\frac{1}{10})}^{k}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{10})}^{k}$ من ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{1}{10}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم $\frac{1}{10}$ على $1$ .

$r = \frac{1}{10}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $k$ في $7 {(\frac{1}{10})}^{k}$ .

$a = 7 {(\frac{1}{10})}^{1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط.

$a = 7 (\frac{1}{10})$

خطوة 3.2.2

اجمع $7$ و $\frac{1}{10}$ .

$a = \frac{7}{10}$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$ في $\frac{10}{10}$ .

$\frac{7}{10} (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 (1 - {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{1}{10})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{1}{10})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{10}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $10$ في $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{10}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- \frac{1^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{8}}{10^{8}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $10$ من $10^{8}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.5

ارفع $10$ إلى القوة $7$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.8

لكتابة $10$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{10000000}{10000000}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.9

اجمع $10$ و $\frac{10000000}{10000000}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $10$ في $10000000$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{100000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11.2

اطرح $1$ من $100000000$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $10$ في $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 - 1}$

خطوة 5.5.2

اطرح $1$ من $10$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{9}$

خطوة 5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{7}{10} (\frac{99999999}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

خطوة 5.7

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $9$ من $99999999$ .

$\frac{7}{10} (\frac{9 (11111111)}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{10} (\frac{9 \cdot 11111111}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

خطوة 5.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$

خطوة 5.8

اضرب $\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اضرب $\frac{7}{10}$ في $\frac{11111111}{10000000}$ .

$\frac{7 \cdot 11111111}{10 \cdot 10000000}$

خطوة 5.8.2

اضرب $7$ في $11111111$ .

$\frac{77777777}{10 \cdot 10000000}$

خطوة 5.8.3

اضرب $10$ في $10000000$ .

$\frac{77777777}{100000000}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{77777777}{100000000}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{7}$