ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

خطوة 1

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

خطوة 2

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{100} 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 2.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(9) (100)$

خطوة 2.3

اضرب $9$ في $100$ .

$900$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 3.2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ و ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ من ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

خطوة 3.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

خطوة 3.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

خطوة 3.2.2.1.2.4

اقسِم ${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

خطوة 3.2.2.2

أضف $k$ و $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

خطوة 3.2.2.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

خطوة 3.2.2.4

اطرح $k$ من $k$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

خطوة 3.2.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

خطوة 3.2.2.6

بسّط.

$r = \frac{1}{2}$

خطوة 3.3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عوّض بـ $1$ عن $k$ في ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

خطوة 3.3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

خطوة 3.3.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

خطوة 3.3.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

خطوة 3.3.2.5

اقسِم $1$ على $1$ .

$a = 1$

خطوة 3.4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 3.5.2.2

اجمع.

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

خطوة 3.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 3.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

خطوة 3.5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

خطوة 3.5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2^{100}$ .

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.7

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.8

اجمع $2$ و $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.10

اضرب $2$ في $2^{99}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.10.1

اضرب $2$ في $2^{99}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.10.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.5.10.2

أضف $1$ و $99$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

خطوة 3.5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

خطوة 3.5.6.2

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

خطوة 3.5.7

اقسِم $\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ على $1$ .

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

خطوة 4

أضف نتائج المجاميع.

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لكتابة $900$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

خطوة 5.2

اجمع $900$ و $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

خطوة 5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

الصيغة العشرية:

$902$