ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

خطوة 2.2.2

اجمع.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $8^{k}$ و $8^{k + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $8^{k + 1}$ من $8^{k}$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

خطوة 2.2.4.2.4

اقسِم $8^{k - (k + 1)}$ على $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

خطوة 2.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

خطوة 2.2.6

اطرح $k$ من $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

خطوة 2.2.7

اطرح $1$ من $0$ .

$r = 8^{- 1}$

خطوة 2.2.8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

خطوة 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $k$ في $\frac{7}{8^{k}}$ .

$a = \frac{7}{8^{1}}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة الأُس.

$a = \frac{7}{8}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

خطوة 6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

خطوة 6.2.3

اطرح $1$ من $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{8}{7}$ في $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

خطوة 6.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

خطوة 6.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$