ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيسر.

$\sin (x + y) \cos (x - y)$

خطوة 2

طبّق متطابقة مجموع الزوايا.

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

خطوة 3

طبّق متطابقة مجموع زاويتين $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $\cos (- y)$ دالة زوجية، أعِد كتابة $\cos (- y)$ في صورة $\cos (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y))$

خطوة 4.1.2

بما أن $\sin (- y)$ دالة فردية، أعِد كتابة $\sin (- y)$ في صورة $- \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)))$

خطوة 4.1.3

اضرب $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.2

وسّع $(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

ارفع $\cos (y)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.1.2

ارفع $\cos (y)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x) {\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.2

اضرب $\sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.2.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.3

اضرب $\cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.3.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

خطوة 4.3.4

اضرب $\cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ارفع $\sin (y)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin (y)) \sin (x)$

خطوة 4.3.4.2

ارفع $\sin (y)$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)) \sin (x)$

خطوة 4.3.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) {\sin (y)}^{1 + 1} \sin (x)$

خطوة 4.3.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $\sin (x) \cos (y)$ من $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $\sin (x) \cos (y)$ من $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $\sin (x) \cos (y)$ من $\sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $\sin (x) \cos (y)$ من $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $\cos (y)$ من $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $\cos (y)$ من $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $\cos (y)$ من $\cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $\cos (y)$ من $\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.4

احذِف الأقواس.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.5

اضرب $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.5.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.6

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) \cos (y) \cos (x)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.6.2

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{2} (x) \sin (y)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 5.6.3

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 6

طبّق متطابقة فيثاغورس في الاتجاه المعاكس.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 7

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 8

اضرب $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 9

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + 1 \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 10

اضرب $\sin (y)$ في $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 11

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x)) + \cos (y) (\sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

ارفع $\cos (y)$ إلى القوة $1$ .

${\cos (y)}^{1} \cos (y) (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 12.1.2

ارفع $\cos (y)$ إلى القوة $1$ .

${\cos (y)}^{1} {\cos (y)}^{1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 12.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\cos (y)}^{1 + 1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 12.1.4

أضف $1$ و $1$ .

${\cos (y)}^{2} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 12.2

أضف $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ و $\cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أعِد ترتيب $\cos (y)$ و $- 1$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) - 1 \cdot \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 12.2.2

اطرح $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ من $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + 0 + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 12.3

أضف ${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x)$ و $0$ .

$\cos^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 13

طبّق متطابقة فيثاغورس في الاتجاه المعاكس.

$(1 - \sin^{2} (y)) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 14

بسّط كل حد.

$\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $- {\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ و ${\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y) + 0$

خطوة 15.2

أضف $\cos (x) \sin (x)$ و $0$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$

خطوة 16

أعِد كتابة $\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$ بالصيغة $\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

خطوة 17

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ هي متطابقة