ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}$

خطوة 1

اقسِم باستخدام قسمة متعددات الحدود المطولة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 7 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
							-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$14$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 7 x^{2} - 21 x - 14$

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

$18 x$

$19$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$2 x - 7 + \frac{18 x + 19}{x^{2} + 3 x + 2}$

خطوة 2

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل $x^{2} + 3 x + 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $2$ ومجموعهما $3$ .

$1, 2$

خطوة 2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{18 x + 19}{(x + 1) (x + 2)}$

خطوة 2.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

خطوة 2.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

خطوة 2.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.6.2

اقسِم $18 x + 19$ على $1$ .

$18 x + 19 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$18 x + 19 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 2)$ على $1$ .

$18 x + 19 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$18 x + 19 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.3

انقُل $2$ إلى يسار $A$ .

$18 x + 19 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$18 x + 19 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 2.7.4.2

اقسِم $(B) (x + 1)$ على $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

خطوة 2.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

خطوة 2.7.6

اضرب $B$ في $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B$

خطوة 2.8

انقُل $2 A$ .

$18 x + 19 = A x + B x + 2 A + B$

خطوة 3

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$18 = A + B$

خطوة 3.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$19 = 2 A + B$

خطوة 3.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

خطوة 4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد قيمة $A$ في $18 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 18$ .

$A + B = 18$

$19 = 2 A + B$

خطوة 4.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

خطوة 4.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $18 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $19 = 2 A + B$ بـ $18 - B$ .

$19 = 2 (18 - B) + B$

$A = 18 - B$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط $2 (18 - B) + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$19 = 2 \cdot 18 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

خطوة 4.2.2.1.1.2

اضرب $2$ في $18$ .

$19 = 36 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

خطوة 4.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

خطوة 4.2.2.1.2

أضف $- 2 B$ و $B$ .

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $B$ في $19 = 36 - B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $36 - B = 19$ .

$36 - B = 19$

$A = 18 - B$

خطوة 4.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $36$ من كلا المتعادلين.

$- B = 19 - 36$

$A = 18 - B$

خطوة 4.3.2.2

اطرح $36$ من $19$ .

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

خطوة 4.3.3

اقسِم كل حد في $- B = - 17$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اقسِم كل حد في $- B = - 17$ على $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

خطوة 4.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{B}{1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

خطوة 4.3.3.2.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

خطوة 4.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

اقسِم $- 17$ على $- 1$ .

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

خطوة 4.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $17$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 18 - B$ بـ $17$ .

$A = 18 - (17)$

$B = 17$

خطوة 4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط $18 - (17)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $17$ .

$A = 18 - 17$

$B = 17$

خطوة 4.4.2.1.2

اطرح $17$ من $18$ .

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

خطوة 4.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 1, B = 17$

خطوة 5

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $2 x - 7 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$2 x - 7 + \frac{1}{x + 1} + \frac{17}{x + 2}$