ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2}{x^{3} - 1}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3} - 1^{3}}$

خطوة 1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

خطوة 1.1.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $(A) (x^{2} + x + 1)$ على $1$ .

$2 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.7.3

اضرب $A$ في $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 1.7.4.2

اقسِم $(B x + C) (x - 1)$ على $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

خطوة 1.7.5

وسّع $(B x + C) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

خطوة 1.7.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

خطوة 1.7.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

خطوة 1.7.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1.1

انقُل $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

خطوة 1.7.6.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

خطوة 1.7.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $B x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

خطوة 1.7.6.3

أعِد كتابة $- 1 (B x)$ بالصيغة $- (B x)$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

خطوة 1.7.6.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

خطوة 1.7.6.5

أعِد كتابة $- 1 C$ بالصيغة $- C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

خطوة 1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أعِد ترتيب $B$ و $x^{2}$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

خطوة 1.8.2

انقُل $B$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

خطوة 1.8.3

انقُل $A$ .

$2 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

خطوة 1.8.4

انقُل $A x$ .

$2 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A - 1 B + C$

خطوة 2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$2 = A - 1 C$

خطوة 2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

خطوة 3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A - 1 B + C$ بـ $- B$ .

$0 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $(- B) - 1 B + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$0 = - B - B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

خطوة 3.2.2.1.2

اطرح $B$ من $- B$ .

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $2 = A - 1 C$ بـ $- B$ .

$2 = (- B) - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أعِد كتابة $- 1 C$ بالصيغة $- C$ .

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $C$ في $0 = - 2 B + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 B + C = 0$ .

$- 2 B + C = 0$

$2 = - B - C$

$A = - B$

خطوة 3.3.2

أضف $2 B$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $2 B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $2 = - B - C$ بـ $2 B$ .

$2 = - B - (2 B)$

$C = 2 B$

$A = - B$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $- B - (2 B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 = - B - 2 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

خطوة 3.4.2.1.2

اطرح $2 B$ من $- B$ .

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $B$ في $2 = - 3 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 3 B = 2$ .

$- 3 B = 2$

$C = 2 B$

$A = - B$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $- 3 B = 2$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 B = 2$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

خطوة 3.5.2.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

خطوة 3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- \frac{2}{3}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $C = 2 B$ بـ $- \frac{2}{3}$ .

$C = 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 3.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

بسّط $2 (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

اضرب $2 (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$C = - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 3.6.2.1.1.2

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{3}$ .

$C = \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 3.6.2.1.1.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 3.6.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

خطوة 3.6.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

اضرب $- (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

خطوة 3.6.4.1.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

خطوة 3.7

اسرِد جميع الحلول.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{4}{3}, B = - \frac{2}{3}$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $x$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 5.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$