ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

خطوة 1

أعِد كتابة $e^{4 x}$ في صورة أُس.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

خطوة 2

أعِد كتابة $e^{2 x}$ في صورة أُس.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

خطوة 3

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

خطوة 4

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

خطوة 4.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $u^{4}$ بالصيغة ${(u^{2})}^{2}$ .

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u = u^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $u^{2}$ .

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

خطوة 4.2.3

حلّل $u^{2} - 6 u - 16$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 16$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 8, 2$

خطوة 4.2.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

خطوة 4.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

خطوة 4.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

خطوة 4.4

عيّن قيمة العبارة $u^{2} - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عيّن قيمة $u^{2} - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

خطوة 4.4.2

أوجِد قيمة $u$ في $u^{2} - 8 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$u^{2} = 8$

خطوة 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

خطوة 4.4.2.3

بسّط $\pm \sqrt{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.3.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

خطوة 4.4.2.3.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 4.4.2.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$u = 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$u = - 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.5

عيّن قيمة العبارة $u^{2} + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

عيّن قيمة $u^{2} + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

خطوة 4.5.2

أوجِد قيمة $u$ في $u^{2} + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} = - 2$

خطوة 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

خطوة 4.5.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.3.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

خطوة 4.5.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (2)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

خطوة 4.5.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$u = \pm i \sqrt{2}$

خطوة 4.5.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$u = i \sqrt{2}$

خطوة 4.5.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$u = - i \sqrt{2}$

خطوة 4.5.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

خطوة 4.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ صحيحة.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $2 \sqrt{2}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

خطوة 6

أوجِد حل $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

خطوة 6.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

خطوة 6.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

خطوة 6.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

خطوة 6.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

خطوة 7

عوّض بـ $- 2 \sqrt{2}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

خطوة 8

أوجِد حل $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

خطوة 8.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

خطوة 8.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (- 2 \sqrt{2})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 8.4

لا يوجد حل لـ $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

لا يوجد حل

خطوة 9

عوّض بـ $i \sqrt{2}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{2} = e^{x}$

خطوة 10

أوجِد حل $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = i \sqrt{2}$

خطوة 10.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

خطوة 10.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

خطوة 10.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

خطوة 10.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

خطوة 10.4

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أعِد كتابة $\ln (i \sqrt{2})$ بالصيغة $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

خطوة 10.4.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.4.3

وسّع $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ بنقل $\frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

خطوة 10.4.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

خطوة 10.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (2)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

خطوة 10.5.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (2)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

خطوة 10.5.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

خطوة 11

عوّض بـ $- i \sqrt{2}$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

خطوة 12

أوجِد حل $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = - i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

خطوة 12.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

خطوة 12.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (- i \sqrt{2})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 12.4

لا يوجد حل لـ $e^{x} = - i \sqrt{2}$

لا يوجد حل

خطوة 13

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$