ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$27 x^{3} = {(x + 5)}^{3}$

خطوة 1

اطرح ${(x + 5)}^{3}$ من كلا المتعادلين.

$27 x^{3} - {(x + 5)}^{3} = 0$

خطوة 2

بسّط $27 x^{3} - {(x + 5)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$27 x^{3} - (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) = 0$

خطوة 2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اضرب $5$ في $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) = 0$

خطوة 2.1.2.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}) = 0$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $25$ في $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}) = 0$

خطوة 2.1.2.4

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125) = 0$

خطوة 2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$27 x^{3} - x^{3} - (15 x^{2}) - (75 x) - 1 \cdot 125 = 0$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

اضرب $15$ في $- 1$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - (75 x) - 1 \cdot 125 = 0$

خطوة 2.1.4.2

اضرب $75$ في $- 1$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 1 \cdot 125 = 0$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- 1$ في $125$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $x^{3}$ من $27 x^{3}$ .

$26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125 = 0$

خطوة 3

حلّل $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

خطوة 3.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{384615}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{076923}, \pm 125, \pm 4.8\overline{076923}, \pm 62.5, \pm 9.\overline{615384}, \pm 5, \pm 0.1\overline{923076}, \pm 2.5, \pm 0.\overline{384615}, \pm 25, \pm 0.9\overline{615384}, \pm 12.5, \pm 1.\overline{923076}$

خطوة 3.3

عوّض بـ $2.5$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2.5$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عوّض بـ $2.5$ في متعدد الحدود.

$26 \cdot {2.5}^{3} - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

خطوة 3.3.2

ارفع $2.5$ إلى القوة $3$ .

$26 \cdot 15.625 - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

خطوة 3.3.3

اضرب $26$ في $15.625$ .

$406.25 - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

خطوة 3.3.4

ارفع $2.5$ إلى القوة $2$ .

$406.25 - 15 \cdot 6.25 - 75 \cdot 2.5 - 125$

خطوة 3.3.5

اضرب $- 15$ في $6.25$ .

$406.25 - 93.75 - 75 \cdot 2.5 - 125$

خطوة 3.3.6

اطرح $93.75$ من $406.25$ .

$312.5 - 75 \cdot 2.5 - 125$

خطوة 3.3.7

اضرب $- 75$ في $2.5$ .

$312.5 - 187.5 - 125$

خطوة 3.3.8

اطرح $187.5$ من $312.5$ .

$125 - 125$

خطوة 3.3.9

اطرح $125$ من $125$ .

$0$

خطوة 3.4

بما أن $2.5$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $2 x - 5$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125}{2 x - 5}$

خطوة 3.5

اقسِم $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ على $2 x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$5$

$26 x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

خطوة 3.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $26 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$13 x^{2}$
	$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$

خطوة 3.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			+	$26 x^{3}$	-	$65 x^{2}$

خطوة 3.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $26 x^{3} - 65 x^{2}$

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$

خطوة 3.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$

خطوة 3.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$

خطوة 3.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $50 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$

خطوة 3.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$125 x$

خطوة 3.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $50 x^{2} - 125 x$

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$

خطوة 3.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$

خطوة 3.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$

خطوة 3.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $50 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$

خطوة 3.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							+	$50 x$	-	$125$

خطوة 3.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $50 x - 125$

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							-	$50 x$	+	$125$

خطوة 3.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							-	$50 x$	+	$125$
										$0$

خطوة 3.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$13 x^{2} + 25 x + 25$

خطوة 3.6

اكتب $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(2 x - 5) (13 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 5 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 5$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 5$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $13 x^{2} + 25 x + 25$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $13 x^{2} + 25 x + 25$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6.2.2

عوّض بقيم $a = 13$ و $b = 25$ و $c = 25$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (13 \cdot 25)}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

ارفع $25$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 13 \cdot 25}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 13 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $13$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 52 \cdot 25}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

اضرب $- 52$ في $25$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 1300}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.3

اطرح $1300$ من $625$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 675$ بالصيغة $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (675)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.7

أعِد كتابة $675$ بالصيغة $15^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $225$ من $675$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $225$ بالصيغة $15^{2}$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.1.9

انقُل $15$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 25 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 13}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $2$ في $13$ .

$x = \frac{- 25 \pm 15 i \sqrt{3}}{26}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{25 - 15 i \sqrt{3}}{26}, - \frac{25 + 15 i \sqrt{3}}{26}$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 x - 5) (13 x^{2} + 25 x + 25) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{25 - 15 i \sqrt{3}}{26}, - \frac{25 + 15 i \sqrt{3}}{26}$