ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \cos (2 x) = 1 - \cos (x)$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (2 x) - 1 = - \cos (x)$

خطوة 1.2

أضف $\cos (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos (2 x) - 1 + \cos (x) = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 + \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 1 + \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 1 + \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 1 + \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 3 + \cos (x) = 0$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$4 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب في $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 3$ زائد $4$

$4 \cos^{2} (x) + (- 3 + 4) \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 4 \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$4 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 4 \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\cos (x) (4 \cos (x) - 3) + 1 (4 \cos (x) - 3) = 0$

خطوة 3.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 \cos (x) - 3$ .

$(4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 1) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 \cos (x) - 3 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $4 \cos (x) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $4 \cos (x) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 \cos (x) - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$4 \cos (x) = 3$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $4 \cos (x) = 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 \cos (x) = 3$ على $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{3}{4}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{4}$

خطوة 5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{3}{4})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

احسِب قيمة $\arccos (\frac{3}{4})$ .

$x = 0.72273424$

خطوة 5.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 (3.14159265) - 0.72273424$

خطوة 5.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 0.72273424$

خطوة 5.2.6.2

بسّط $2 (3.14159265) - 0.72273424$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.72273424$

خطوة 5.2.6.2.2

اطرح $0.72273424$ من $6.2831853$ .

$x = 5.56045105$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.72273424 + 2 π n, 5.56045105 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) = - 1$

خطوة 6.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 1)$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$x = π$

خطوة 6.2.4

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 6.2.5

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 6.2.6

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.7

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0.72273424 + 2 π n, 5.56045105 + 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$