ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{16} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{16} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = 5$

$h = - 4$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 4, 5)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

خطوة 5.3.3

أضف $9$ و $16$ .

$\sqrt{25}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$5$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 1, 5)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 7, 5)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(- 1, 5), (- 7, 5)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1, 5)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 9, 5)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(1, 5), (- 9, 5)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

خطوة 8.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

خطوة 8.3.3

أضف $9$ و $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

خطوة 8.3.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

خطوة 8.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{5}{3}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{4^{2}}{5}$

خطوة 9.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{16}{5}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 4) + 5$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $\frac{4}{3} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $4$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3} + 5$

خطوة 11.2.1.4.2

اضرب $4$ في $4$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 5$

خطوة 11.2.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 11.2.3

اجمع $5$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 5 \cdot 3}{3}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $5$ في $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 15}{3}$

خطوة 11.2.5.2

أضف $16$ و $15$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 4)) + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 4) + 5$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 4 + 5$

خطوة 12.2.1.4

اضرب $- \frac{4}{3} \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 (\frac{4}{3}) + 5$

خطوة 12.2.1.4.2

اجمع $- 4$ و $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{3} + 5$

خطوة 12.2.1.4.3

اضرب $- 4$ في $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 16}{3} + 5$

خطوة 12.2.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.5.1

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 16}{3} + 5$

خطوة 12.2.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + 5$

خطوة 12.2.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 12.2.3

اجمع $5$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{16}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 16 + 5 \cdot 3}{3}$

خطوة 12.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.5.1

اضرب $5$ في $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 16 + 15}{3}$

خطوة 12.2.5.2

أضف $- 16$ و $15$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

خطوة 12.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(- 4, 5)$

الرؤوس: $(- 1, 5), (- 7, 5)$

البؤر: $(1, 5), (- 9, 5)$

الاختلاف المركزي: $\frac{5}{3}$

المعلمة البؤرية: $\frac{16}{5}$

خطوط التقارب: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{31}{3}$ ، $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 15