ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

خطوة 1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وسّع $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ بنقل $x - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

خطوة 2.2

اضرب $2^{2 x}$ في $2^{2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

خطوة 2.2.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

خطوة 2.3

وسّع $\ln (2^{4 x})$ بنقل $4 x$ خارج اللوغاريتم.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

خطوة 3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $(x - 1) (4 x \ln (2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

خطوة 3.1.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

خطوة 3.1.1.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

خطوة 3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

انقُل $x$ .

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

خطوة 3.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ .

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

خطوة 4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

خطوة 5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6

عوّض بقيم $a = 4 \ln (2)$ و $b = - 4 \ln (2)$ و $c = - \ln (8)$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أضف الأقواس.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.2

لنفترض أن $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $4$ من $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $16 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.5.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.5.3

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.6

أخرِج العامل $4 \ln (2)$ من $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.6.1

أخرِج العامل $4 \ln (2)$ من $4 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.6.2

أخرِج العامل $4 \ln (2)$ من $4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.6.3

أخرِج العامل $4 \ln (2)$ من $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.7

اضرب $4$ في $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.8

أعِد كتابة $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ بالصيغة ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.8.3

أضف الأقواس.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

خطوة 7.3

بسّط $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ .

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

خطوة 8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

الصيغة العشرية:

$x = 1.5, - 0.5$