ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ .

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

خطوة 2

بسّط $x (x + 7) (18 - 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

خطوة 2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

خطوة 2.1.2.2

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

خطوة 2.2

وسّع $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل $18$ إلى يسار $x^{2}$ .

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

خطوة 2.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

انقُل $x$ .

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

خطوة 2.3.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

خطوة 2.3.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

خطوة 2.3.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $18$ في $7$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

خطوة 2.3.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.6.1

انقُل $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

خطوة 2.3.1.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

خطوة 2.3.1.7

اضرب $7$ في $- 2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

خطوة 2.3.2

اطرح $14 x^{2}$ من $18 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

خطوة 3

اطرح $240$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

خطوة 4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{3}$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $126 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

خطوة 4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $- 240$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

خطوة 4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

خطوة 4.1.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

خطوة 4.1.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

خطوة 4.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

حلّل $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

خطوة 4.3.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

خطوة 4.3.1.3

عوّض بـ $8$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $8$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

عوّض بـ $8$ في متعدد الحدود.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

خطوة 4.3.1.3.2

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

خطوة 4.3.1.3.3

اضرب $- 1$ في $512$ .

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

خطوة 4.3.1.3.4

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

خطوة 4.3.1.3.5

اضرب $2$ في $64$ .

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

خطوة 4.3.1.3.6

أضف $- 512$ و $128$ .

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

خطوة 4.3.1.3.7

اضرب $63$ في $8$ .

$- 384 + 504 - 120$

خطوة 4.3.1.3.8

أضف $- 384$ و $504$ .

$120 - 120$

خطوة 4.3.1.3.9

اطرح $120$ من $120$ .

$0$

خطوة 4.3.1.4

بما أن $8$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 8$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

خطوة 4.3.1.5

اقسِم $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ على $x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

خطوة 4.3.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

خطوة 4.3.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

خطوة 4.3.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x^{3} + 8 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

خطوة 4.3.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

خطوة 4.3.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

خطوة 4.3.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

خطوة 4.3.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

خطوة 4.3.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 x^{2} + 48 x$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

خطوة 4.3.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

خطوة 4.3.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

خطوة 4.3.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $15 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

خطوة 4.3.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

خطوة 4.3.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $15 x - 120$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

خطوة 4.3.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

خطوة 4.3.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- x^{2} - 6 x + 15$

خطوة 4.3.1.6

اكتب $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ في صورة مجموعة من العوامل.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

خطوة 4.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 8 = 0$

خطوة 6.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $- x^{2} - 6 x + 15$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $- x^{2} - 6 x + 15$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2.2

عوّض بقيم $a = - 1$ و $b = - 6$ و $c = 15$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.2.3.1.2.2

اضرب $4$ في $15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.2.3.1.3

أضف $36$ و $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.2.3.1.4

أعِد كتابة $96$ بالصيغة $4^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.2.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

خطوة 7.2.3.3

بسّط $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

خطوة 7.2.3.4

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

خطوة 7.2.3.5

أعِد كتابة $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ بالصيغة $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ .

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ صحيحة.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

الصيغة العشرية:

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$