ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (- θ))$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط $3 (1 - \cos (- θ))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $\cos (- θ)$ دالة زوجية، أعِد كتابة $\cos (- θ)$ في صورة $\cos (θ)$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 (1 - \cos (θ))$

خطوة 1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sin^{2} (θ) = 3 \cdot 1 + 3 (- \cos (θ))$

خطوة 1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 + 3 (- \cos (θ))$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$2 \sin^{2} (θ) = 3 - 3 \cos (θ)$

خطوة 2

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 = - 3 \cos (θ)$

خطوة 2.2

أضف $3 \cos (θ)$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \sin^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

خطوة 3

استبدِل $2 \sin^{2} (θ)$ بـ $2 (1 - \cos^{2} (θ))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (θ)) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (θ) - 3 + 3 \cos (θ) = 0$

خطوة 5

اطرح $3$ من $2$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - 1 + 3 \cos (θ) = 0$

خطوة 6

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 2 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة $\cos (θ)$ التي تساوي $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2} + 3 u - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + 3 u - 1 = 0$

خطوة 8.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 = 0$

خطوة 8.1.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$- (2 u^{2}) - (- 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 8.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2}) - (- 3 u)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 8.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2} - 3 u) - 1 (1)$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

خطوة 8.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ ومجموعهما $b = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 u$ .

$- (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 3$ في صورة $- 1$ زائد $- 2$

$- (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

خطوة 8.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

خطوة 8.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

خطوة 8.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

خطوة 8.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

خطوة 8.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (2 u - 1) (u - 1) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 10.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 10.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 11.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (2 u - 1) (u - 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, 1$

خطوة 13

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, 1$

خطوة 14

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = 1$

خطوة 15

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 15.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

خطوة 15.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 15.4

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 15.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 15.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 15.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 15.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

خطوة 15.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 15.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 15.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 15.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 15.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (1)$

خطوة 16.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 16.3

$θ = 2 π - 0$

خطوة 16.4

اطرح $0$ من $2 π$ .

$θ = 2 π$

خطوة 16.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 16.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 16.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 16.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 16.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 17

اسرِد جميع الحلول.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 18

ادمج $2 π n$ و $2 π + 2 π n$ في $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$