ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{5} + 3 x^{4} - 25 x^{3} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 1

أعِد تجميع الحدود.

$x^{5} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 2

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{5} - 25 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $x^{3}$ من $- 25 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ .

$x^{3} (x^{2} - 25) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 3

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 x^{4} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 5

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 {(x^{2})}^{2} - 79 x^{2} + 100$

خطوة 6

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 u + 100$

خطوة 7

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ ومجموعهما $b = - 79$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $- 79$ من $- 79 u$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 79 (u) + 100$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة $- 79$ في صورة $- 4$ زائد $- 75$

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} + (- 4 - 75) u + 100$

خطوة 7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + 3 u^{2} - 4 u - 75 u + 100$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u^{2} - 4 u) - 75 u + 100$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + u (3 u - 4) - 25 (3 u - 4)$

خطوة 7.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 u - 4$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 u - 4) (u - 25)$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 25)$

خطوة 9

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x^{2} - 5^{2})$

خطوة 10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) ((x + 5) (x - 5))$

خطوة 10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

خطوة 11

أخرِج العامل $(x + 5) (x - 5)$ من $x^{3} (x + 5) (x - 5) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $(x + 5) (x - 5)$ من $x^{3} (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$

خطوة 11.2

أخرِج العامل $(x + 5) (x - 5)$ من $(3 x^{2} - 4) (x + 5) (x - 5)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$

خطوة 11.3

أخرِج العامل $(x + 5) (x - 5)$ من $(x + 5) (x - 5) (x^{3}) + (x + 5) (x - 5) (3 x^{2} - 4)$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)$

خطوة 12

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

حلّل $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

خطوة 12.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 12.1.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

خطوة 12.1.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

خطوة 12.1.1.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

خطوة 12.1.1.3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$1 + 3 - 4$

خطوة 12.1.1.3.5

أضف $1$ و $3$ .

$4 - 4$

خطوة 12.1.1.3.6

اطرح $4$ من $4$ .

$0$

خطوة 12.1.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4}{x - 1}$

خطوة 12.1.1.5

اقسِم $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

خطوة 12.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

خطوة 12.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 12.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 12.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

خطوة 12.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 12.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 12.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 12.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 12.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

خطوة 12.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

خطوة 12.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$

خطوة 12.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

خطوة 12.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x - 4$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

خطوة 12.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

خطوة 12.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 4 x + 4$

خطوة 12.1.1.6

اكتب $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 4))$

خطوة 12.1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 4 x + 2^{2}))$

خطوة 12.1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 12.1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}))$

خطوة 12.1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})$

خطوة 12.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 5) (x - 5) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$