ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = a {(x - h)}^{2} + k \cdot 4 x^{2} + 8 x - 4$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$ .

$a {(x - h)}^{2} + k \cdot (4 x^{2}) + 8 x - 4 = y$

خطوة 2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - 4 = y$

خطوة 3

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$a {(x - h)}^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 4

أعِد كتابة ${(x - h)}^{2}$ بالصيغة $(x - h) (x - h)$ .

$a ((x - h) (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 5

وسّع $(x - h) (x - h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$a (x (x - h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6.1.4

اضرب $h$ في $h$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

انقُل $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6.1.4.2

اضرب $h$ في $h$ .

$a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6.1.6

اضرب $h^{2}$ في $1$ .

$a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6.2

اطرح $h x$ من $- x h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $x$ .

$a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 6.2.2

اطرح $h x$ من $- h x$ .

$a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 7

طبّق خاصية التوزيع.

$a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x = y + 4$

خطوة 9

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y = 4$

خطوة 9.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + 4 k x^{2} + 8 x - y - 4 = 0$

خطوة 10

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 11

عوّض بقيم $a = a + 4 k$ و $b = - 2 a h + 8$ و $c = a h^{2} - y - 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- (- 2 a h + 8) \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{- (- 2 a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 (a h) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.3

اضرب $- 1$ في $8$ .

$x = \frac{2 (a h) - 8 \pm \sqrt{{(- 2 a h + 8)}^{2} - 4 \cdot (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.4

أضف الأقواس.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{{(- 2 (a h) + 8)}^{2} - 4 \cdot ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5

لنفترض أن $u = (a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة ${(- 2 a h + 8)}^{2}$ بالصيغة $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.2

وسّع $(- 2 a h + 8) (- 2 a h + 8)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h + 8) + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h + 8) - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a h (- 2 a h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.1.1

اضرب $a$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.1.1.1

انقُل $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 (a \cdot a) h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3.1.1.2

اضرب $a$ في $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h (- 2 h) - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.1.2.1

انقُل $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} (h \cdot h) \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3.1.2.2

اضرب $h$ في $h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{- 2 a^{2} h^{2} \cdot - 2 - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 2 a h \cdot 8 + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3.1.4

اضرب $8$ في $- 2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h + 8 (- 2 a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3.1.5

اضرب $- 2$ في $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 (a h) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3.1.6

اضرب $8$ في $8$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 16 a h - 16 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.5.3.2

اطرح $16 a h$ من $- 16 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 \cdot u}}{2 (a + 4 k)}$

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.6

أخرِج العامل $4$ من $4 a^{2} h^{2} - 32 a h + 64 - 4 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

أخرِج العامل $4$ من $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 32 a h + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.6.2

أخرِج العامل $4$ من $- 32 a h$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 64 - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.6.3

أخرِج العامل $4$ من $64$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) - 4 u}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.6.4

أخرِج العامل $4$ من $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.6.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- 8 a h)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.6.6

أخرِج العامل $4$ من $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h) + 4 (16)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.6.7

أخرِج العامل $4$ من $4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - u)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $(a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - ((a + 4 k) \cdot (a h^{2} - y - 4)))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.1.1

وسّع $(a + 4 k) (a h^{2} - y - 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a (a h^{2}) + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.1.2.1

اضرب $a$ في $a$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.1.2.1.1

انقُل $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a \cdot a h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.2.1.2

اضرب $a$ في $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} + a (- y) + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y + a \cdot - 4 + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.2.3

انقُل $- 4$ إلى يسار $a$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 \cdot a + 4 k (a h^{2}) + 4 k (- y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} + 4 \cdot (- 1 k y) + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.2.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y + 4 k \cdot - 4))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.2.6

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2} - a y - 4 a + 4 k a h^{2} - 4 k y - 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - (a^{2} h^{2}) - (- a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.1.4.1

اضرب $- (- a y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.1.4.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + 1 (a y) - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.4.1.2

اضرب $a$ في $1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y - (- 4 a) - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.4.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - (4 k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.4.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) - (- 4 k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.4.4

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) - (- 16 k))}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.4.5

اضرب $- 16$ في $- 1$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 (k a h^{2}) + 4 (k y) + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.1.5

احذِف الأقواس.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $a^{2} h^{2} - 8 a h + 16 - a^{2} h^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.8.2.1

اطرح $a^{2} h^{2}$ من $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + 0 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.8.2.2

أضف $- 8 a h + 16$ و $0$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.9

أعِد كتابة $4 (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ بالصيغة $2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.9.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm \sqrt{2^{2} (- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k)}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 4^{2} + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 12.11

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 a h - 8 \pm 2 \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{2 (a + 4 k)}$

خطوة 13

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{a h - 4 + \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$

$x = \frac{a h - 4 - \sqrt{- 8 a h + 16 + a y + 4 a - 4 k a h^{2} + 4 k y + 16 k}}{a + 4 k}$