ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 3$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$9 {(1)}^{5} - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احذِف الأقواس.

$9 {(1)}^{5} - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$9 \cdot 1 - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

خطوة 4.2.2

اضرب $9$ في $1$ .

$9 - 27 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

خطوة 4.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$9 - 27 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

خطوة 4.2.4

اضرب $- 27$ في $1$ .

$9 - 27 - 10 {(1)}^{3} + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

خطوة 4.2.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$9 - 27 - 10 \cdot 1 + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

خطوة 4.2.6

اضرب $- 10$ في $1$ .

$9 - 27 - 10 + 30 {(1)}^{2} + 1 - 3$

خطوة 4.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$9 - 27 - 10 + 30 \cdot 1 + 1 - 3$

خطوة 4.2.8

اضرب $30$ في $1$ .

$9 - 27 - 10 + 30 + 1 - 3$

خطوة 4.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $27$ من $9$ .

$- 18 - 10 + 30 + 1 - 3$

خطوة 4.3.2

اطرح $10$ من $- 18$ .

$- 28 + 30 + 1 - 3$

خطوة 4.3.3

أضف $- 28$ و $30$ .

$2 + 1 - 3$

خطوة 4.3.4

أضف $2$ و $1$ .

$3 - 3$

خطوة 4.3.5

اطرح $3$ من $3$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(9)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$

	$9$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(9)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(9)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 27)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$
	$9$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$
	$9$	$- 18$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 18)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 18)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 10)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$
	$9$	$- 18$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$
	$9$	$- 18$	$- 28$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 28)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 28)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(30)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$
	$9$	$- 18$	$- 28$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(1)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$

خطوة 6.11

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(3)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(3)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 3)$ .

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$

خطوة 6.12

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$9$	$- 27$	$- 10$	$30$	$1$	$- 3$
		$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$
	$9$	$- 18$	$- 28$	$2$	$3$	$0$

خطوة 6.13

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$9 x^{4} + - 18 x^{3} - 28 x^{2} + 2 x + 3$

خطوة 6.14

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$9 x^{4} - 18 x^{3} - 28 x^{2} + 2 x + 3$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أعِد تجميع الحدود.

$- 18 x^{3} + 2 x + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $- 2 x$ من $- 18 x^{3} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $- 2 x$ من $- 18 x^{3}$ .

$- 2 x (9 x^{2}) + 2 x + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.2.2

أخرِج العامل $- 2 x$ من $2 x$ .

$- 2 x (9 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.2.3

أخرِج العامل $- 2 x$ من $- 2 x (9 x^{2}) - 2 x (- 1)$ .

$- 2 x (9 x^{2} - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$- 2 x ({(3 x)}^{2} - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- 2 x ({(3 x)}^{2} - 1^{2}) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3 x$ و $b = 1$ .

$- 2 x ((3 x + 1) (3 x - 1)) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 x^{4} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.6

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 3 = 0$

خطوة 7.1.7

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

خطوة 7.1.8

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ ومجموعهما $b = - 28$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1.1

أخرِج العامل $- 28$ من $- 28 u$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

خطوة 7.1.8.1.2

أعِد كتابة $- 28$ في صورة $- 1$ زائد $- 27$

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

خطوة 7.1.8.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

خطوة 7.1.8.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + 9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

خطوة 7.1.8.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

خطوة 7.1.8.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $9 u - 1$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (9 u - 1) (u - 3) = 0$

خطوة 7.1.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (9 x^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 7.1.10

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + ({(3 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 7.1.11

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + ({(3 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 7.1.12

$- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 7.1.13

أخرِج العامل $(3 x + 1) (3 x - 1)$ من $- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.13.1

أخرِج العامل $(3 x + 1) (3 x - 1)$ من $- 2 x (3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3) = 0$

خطوة 7.1.13.2

أخرِج العامل $(3 x + 1) (3 x - 1)$ من $(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x) + (3 x + 1) (3 x - 1) (x^{2} - 3)$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

خطوة 7.1.14

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

خطوة 7.1.15

حلّل $- 2 u + u^{2} - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.15.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 3, 1$

خطوة 7.1.15.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(3 x + 1) (3 x - 1) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

خطوة 7.1.16

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(3 x + 1) (3 x - 1) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

خطوة 7.1.16.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(3 x + 1) (3 x - 1) (x - 3) (x + 1) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $3 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $3 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 1 = 0$

خطوة 7.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 1$

خطوة 7.3.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 7.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 7.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

خطوة 7.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{3}$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 1 = 0$

خطوة 7.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 1$

خطوة 7.4.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 7.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 7.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 7.5

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 7.5.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 7.6

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 7.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 7.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x + 1) (3 x - 1) (x - 3) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, - 1$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x - 1) (x + \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 1)$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $9 x^{5} - 27 x^{4} - 10 x^{3} + 30 x^{2} + x - 3$ .

$x = 1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 3, - 1$

خطوة 10