ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احذِف الأقواس.

$4 {(1)}^{5} - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

خطوة 4.2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 - 8 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

خطوة 4.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 - 8 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

خطوة 4.2.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$4 - 8 - 5 {(1)}^{3} + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

خطوة 4.2.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 - 8 - 5 \cdot 1 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

خطوة 4.2.6

اضرب $- 5$ في $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 {(1)}^{2} + 1 - 2$

خطوة 4.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 - 8 - 5 + 10 \cdot 1 + 1 - 2$

خطوة 4.2.8

اضرب $10$ في $1$ .

$4 - 8 - 5 + 10 + 1 - 2$

خطوة 4.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $8$ من $4$ .

$- 4 - 5 + 10 + 1 - 2$

خطوة 4.3.2

اطرح $5$ من $- 4$ .

$- 9 + 10 + 1 - 2$

خطوة 4.3.3

أضف $- 9$ و $10$ .

$1 + 1 - 2$

خطوة 4.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 - 2$

خطوة 4.3.5

اطرح $2$ من $2$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(4)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$

	$4$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(4)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 8)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$
	$4$	$- 4$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 4)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 5)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$
	$4$	$- 4$	$- 9$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 9)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 9)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(10)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(1)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

خطوة 6.11

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 2)$ .

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$

خطوة 6.12

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$4$	$- 8$	$- 5$	$10$	$1$	$- 2$
		$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$
	$4$	$- 4$	$- 9$	$1$	$2$	$0$

خطوة 6.13

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$4 x^{4} + - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 1 x + 2$

خطوة 6.14

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$4 x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x + 2$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أعِد تجميع الحدود.

$- 4 x^{3} + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $- x$ من $- 4 x^{3} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- 4 x^{3}$ .

$- x (4 x^{2}) + x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.2.2

أعِد كتابة $x$ بالصيغة $1 x$ .

$- x (4 x^{2}) + 1 x + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $1 x$ .

$- x (4 x^{2}) - x \cdot - 1 + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.2.4

أخرِج العامل $- x$ من $- x (4 x^{2}) - x (- 1)$ .

$- x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$- x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 x$ و $b = 1$ .

$- x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.6

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 7.1.7

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

خطوة 7.1.8

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ ومجموعهما $b = - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1.1

أخرِج العامل $- 9$ من $- 9 u$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

خطوة 7.1.8.1.2

أعِد كتابة $- 9$ في صورة $- 1$ زائد $- 8$

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

خطوة 7.1.8.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

خطوة 7.1.8.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

خطوة 7.1.8.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

خطوة 7.1.8.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 u - 1$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u - 2) = 0$

خطوة 7.1.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 7.1.10

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 7.1.11

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 7.1.12

$- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 7.1.13

أخرِج العامل $(2 x + 1) (2 x - 1)$ من $- x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.13.1

أخرِج العامل $(2 x + 1) (2 x - 1)$ من $- x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 7.1.13.2

أخرِج العامل $(2 x + 1) (2 x - 1)$ من $(2 x + 1) (2 x - 1) (- x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- x + x^{2} - 2) = 0$

خطوة 7.1.14

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- u + u^{2} - 2) = 0$

خطوة 7.1.15

حلّل $- u + u^{2} - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.15.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 2, 1$

خطوة 7.1.15.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 2) (u + 1)) = 0$

خطوة 7.1.16

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 2) (x + 1)) = 0$

خطوة 7.1.16.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 7.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 7.3.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 7.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 7.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 7.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 1 = 0$

خطوة 7.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 1$

خطوة 7.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

خطوة 7.5

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 7.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 7.6

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 7.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 7.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 2) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x - 1) (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{2}) (x - 2) (x + 1)$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $4 x^{5} - 8 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + x - 2$ .

$x = 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2, - 1$

خطوة 10