ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{4} - x^{3} - 19 x^{2} + 9 x + 9$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

خطوة 4.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - {(1)}^{3} - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

خطوة 4.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 - 1 \cdot 1 - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 - 1 - 19 {(1)}^{2} + 9 (1) + 9$

خطوة 4.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 - 1 - 19 \cdot 1 + 9 (1) + 9$

خطوة 4.1.6

اضرب $- 19$ في $1$ .

$2 - 1 - 19 + 9 (1) + 9$

خطوة 4.1.7

اضرب $9$ في $1$ .

$2 - 1 - 19 + 9 + 9$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $2$ .

$1 - 19 + 9 + 9$

خطوة 4.2.2

اطرح $19$ من $1$ .

$- 18 + 9 + 9$

خطوة 4.2.3

أضف $- 18$ و $9$ .

$- 9 + 9$

خطوة 4.2.4

أضف $- 9$ و $9$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} - 19 x^{2} + 9 x + 9}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(2)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$

	$2$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$
	$2$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$
	$2$	$1$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 19)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$- 18$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 18)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 18)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(9)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$
	$2$	$1$	$- 18$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 9)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 9)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(9)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$	$- 9$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$2$	$- 1$	$- 19$	$9$	$9$
		$2$	$1$	$- 18$	$- 9$
	$2$	$1$	$- 18$	$- 9$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (- 18) x - 9$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$2 x^{3} + x^{2} - 18 x - 9$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) - 18 x - 9$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) - 9 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) - 9 (2 x + 1)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 9)$

خطوة 9

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} - 3^{2})$

خطوة 10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) ((x + 3) (x - 3))$

خطوة 10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 3) (x - 3)$

خطوة 11

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد تجميع الحدود.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 11.2

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{3} + 9 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 11.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 11.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 11.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 11.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 11.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 19 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 11.5

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 19 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 11.6

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 19 u + 9 = 0$

خطوة 11.7

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ ومجموعهما $b = - 19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.1

أخرِج العامل $- 19$ من $- 19 u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 19 u + 9 = 0$

خطوة 11.7.1.2

أعِد كتابة $- 19$ في صورة $- 1$ زائد $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 1 - 18) u + 9 = 0$

خطوة 11.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 18 u + 9 = 0$

خطوة 11.7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 1 u - 18 u + 9 = 0$

خطوة 11.7.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 1) - 9 (2 u - 1) = 0$

خطوة 11.7.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 1) (u - 9) = 0$

خطوة 11.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$

خطوة 11.9

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

خطوة 11.10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.10.1

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

خطوة 11.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

خطوة 11.11

أخرِج العامل $(x + 3) (x - 3)$ من $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.11.1

أخرِج العامل $(x + 3) (x - 3)$ من $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

خطوة 11.11.2

أخرِج العامل $(x + 3) (x - 3)$ من $(2 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 11.11.3

أخرِج العامل $(x + 3) (x - 3)$ من $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 11.12

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

خطوة 11.13

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.13.1

أعِد ترتيب الحدود.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

خطوة 11.13.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.13.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

خطوة 11.13.2.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

خطوة 11.13.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 11.13.2.4

اضرب $u$ في $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 11.13.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.13.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

خطوة 11.13.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x + 3) (x - 3) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

خطوة 11.13.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

خطوة 11.14

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

خطوة 11.14.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 3) (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 12

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 14

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 14.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 15

عيّن قيمة العبارة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

عيّن قيمة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 15.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 15.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 15.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 15.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 15.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 16

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 16.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 17

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 3) (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 3, 3, - \frac{1}{2}, 1$

خطوة 18