ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 13$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{13}, \pm 2, \pm \frac{2}{13}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$13 {(- 1)}^{4} + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$13 \cdot 1 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

خطوة 4.1.2

اضرب $13$ في $1$ .

$13 + 12 {(- 1)}^{3} - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

خطوة 4.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$13 + 12 \cdot - 1 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

خطوة 4.1.4

اضرب $12$ في $- 1$ .

$13 - 12 - 27 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 2$

خطوة 4.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$13 - 12 - 27 \cdot 1 - 24 \cdot - 1 + 2$

خطوة 4.1.6

اضرب $- 27$ في $1$ .

$13 - 12 - 27 - 24 \cdot - 1 + 2$

خطوة 4.1.7

اضرب $- 24$ في $- 1$ .

$13 - 12 - 27 + 24 + 2$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $12$ من $13$ .

$1 - 27 + 24 + 2$

خطوة 4.2.2

اطرح $27$ من $1$ .

$- 26 + 24 + 2$

خطوة 4.2.3

أضف $- 26$ و $24$ .

$- 2 + 2$

خطوة 4.2.4

أضف $- 2$ و $2$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{13 x^{4} + 12 x^{3} - 27 x^{2} - 24 x + 2}{x + 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(13)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$

	$13$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(13)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 13)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(12)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$
	$13$	$- 1$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 1)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 27)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$
	$13$	$- 1$	$- 26$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 26)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(26)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 24)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(2)$ .

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$13$	$12$	$- 27$	$- 24$	$2$
		$- 13$	$1$	$26$	$- 2$
	$13$	$- 1$	$- 26$	$2$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$13 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 26) x + 2$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$13 x^{3} - x^{2} - 26 x + 2$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x + 1) (13 x^{3} - x^{2}) - 26 x + 2$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x + 1) + x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

$(x + 1) x^{2} (13 x - 1) - 2 (13 x - 1)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $13 x - 1$ .

$(x + 1) (13 x - 1) (x^{2} - 2)$

خطوة 9

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد تجميع الحدود.

$12 x^{3} - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{3} - 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $12 x$ من $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 x^{4} - 27 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 {(x^{2})}^{2} - 27 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

خطوة 9.5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 13 \cdot 2 = 26$ ومجموعهما $b = - 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.1

أخرِج العامل $- 27$ من $- 27 u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 27 u + 2 = 0$

خطوة 9.5.1.2

أعِد كتابة $- 27$ في صورة $- 1$ زائد $- 26$

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} + (- 1 - 26) u + 2 = 0$

خطوة 9.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

خطوة 9.5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$12 x (x^{2} - 2) + 13 u^{2} - 1 u - 26 u + 2 = 0$

خطوة 9.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$12 x (x^{2} - 2) + u (13 u - 1) - 2 (13 u - 1) = 0$

خطوة 9.5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $13 u - 1$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 u - 1) (u - 2) = 0$

خطوة 9.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 9.7

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $12 x (x^{2} - 2) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2) = 0$

خطوة 9.7.2

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $(13 x^{2} - 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 9.7.3

أخرِج العامل $x^{2} - 2$ من $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (13 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + 13 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 9.8

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + 13 u^{2} - 1) = 0$

خطوة 9.9

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.1

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 u - 1) = 0$

خطوة 9.9.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 13 \cdot - 1 = - 13$ ومجموعهما $b = 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12 u$ .

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + 12 (u) - 1) = 0$

خطوة 9.9.2.2

أعِد كتابة $12$ في صورة $- 1$ زائد $13$

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} + (- 1 + 13) u - 1) = 0$

خطوة 9.9.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} - 2) (13 u^{2} - 1 u + 13 u - 1) = 0$

خطوة 9.9.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x^{2} - 2) ((13 u^{2} - 1 u) + 13 u - 1) = 0$

خطوة 9.9.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x^{2} - 2) (u (13 u - 1) + 1 (13 u - 1)) = 0$

خطوة 9.9.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $13 u - 1$ .

$(x^{2} - 2) ((13 u - 1) (u + 1)) = 0$

خطوة 9.10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(x^{2} - 2) ((13 x - 1) (x + 1)) = 0$

خطوة 9.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$13 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x^{2} - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 2$

خطوة 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $13 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $13 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$13 x - 1 = 0$

خطوة 12.2

أوجِد قيمة $x$ في $13 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$13 x = 1$

خطوة 12.2.2

اقسِم كل حد في $13 x = 1$ على $13$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اقسِم كل حد في $13 x = 1$ على $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

خطوة 12.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{13 x}{13} = \frac{1}{13}$

خطوة 12.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{13}$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{2} - 2) (13 x - 1) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, \frac{1}{13}, - 1$

الصيغة العشرية:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 0.\overline{076923}, - 1$

خطوة 16