ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} - 3 x^{2} - 4$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2} - 4$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 2$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$16 - 3 {(2)}^{2} - 4$

خطوة 4.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$16 - 3 \cdot 4 - 4$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 3$ في $4$ .

$16 - 12 - 4$

خطوة 4.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $12$ من $16$ .

$4 - 4$

خطوة 4.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $2$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{4} - 3 x^{2} - 4}{x - 2}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$
		$2$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$
		$2$
	$1$	$2$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 3)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$1$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$
		$2$	$4$	$2$
	$1$	$2$	$1$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$
		$2$	$4$	$2$
	$1$	$2$	$1$	$2$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 4)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$
		$2$	$4$	$2$	$4$
	$1$	$2$	$1$	$2$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$0$	$- 3$	$0$	$- 4$
		$2$	$4$	$2$	$4$
	$1$	$2$	$1$	$2$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (1) x + 2$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 2) + x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)$

$(x - 2) x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 2$ .

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} + 1)$

خطوة 9

عوّض بـ $u = x^{2}$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$u^{2} - 3 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

خطوة 10

حلّل $u^{2} - 3 u - 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 4$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 4, 1$

خطوة 10.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 4) (u + 1) = 0$

خطوة 11

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $u - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $u - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 4 = 0$

خطوة 12.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 4$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 4) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = 4, - 1$

خطوة 15

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = x^{2}$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

خطوة 16

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة الأولى.

$x^{2} = 4$

خطوة 17

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

خطوة 17.2

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 17.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

خطوة 17.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

خطوة 17.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

خطوة 17.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

خطوة 18

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة الثانية.

${(x^{2})}^{1} = - 1$

خطوة 19

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

احذِف الأقواس.

$x^{2} = - 1$

خطوة 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 19.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 19.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 19.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 19.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 20

حل $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ هو $x = 2, - 2, i, - i$ .

$x = 2, - 2, i, - i$

خطوة 21