ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

خطوة 4.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

خطوة 4.1.3

اضرب $4$ في $1$ .

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

خطوة 4.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 14$ في $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

خطوة 4.1.6

اضرب $- 36$ في $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ و $4$ .

$5 - 14 - 36 + 45$

خطوة 4.2.2

اطرح $14$ من $5$ .

$- 9 - 36 + 45$

خطوة 4.2.3

اطرح $36$ من $- 9$ .

$- 45 + 45$

خطوة 4.2.4

أضف $- 45$ و $45$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(5)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(5)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 14)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 9)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 9)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 36)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 45)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 45)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(45)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 5$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

خطوة 9

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

خطوة 10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

خطوة 10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

خطوة 11

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد تجميع الحدود.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

خطوة 11.2

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3} - 36 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

خطوة 11.2.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

خطوة 11.2.3

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

خطوة 11.3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

خطوة 11.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

خطوة 11.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

خطوة 11.5

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

خطوة 11.6

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

خطوة 11.7

حلّل $u^{2} - 14 u + 45$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $45$ ومجموعهما $- 14$ .

$- 9, - 5$

خطوة 11.7.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

خطوة 11.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

خطوة 11.9

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

خطوة 11.10

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

خطوة 11.11

أخرِج العامل $(x + 3) (x - 3)$ من $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.11.1

أخرِج العامل $(x + 3) (x - 3)$ من $4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

خطوة 11.11.2

أخرِج العامل $(x + 3) (x - 3)$ من $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

خطوة 11.12

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

خطوة 11.13

حلّل $4 u + u^{2} - 5$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.13.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 5$ ومجموعهما $4$ .

$- 1, 5$

خطوة 11.13.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

خطوة 11.14

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

خطوة 11.14.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

خطوة 12

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 14

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 14.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 15

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 15.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 16

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 16.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 17

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ صحيحة.

$x = - 3, 3, 1, - 5$

خطوة 18