ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 2$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

خطوة 4.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 8$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 6$ في $4$ .

$8 - 24 + 12 (2) - 8$

خطوة 4.1.4

اضرب $12$ في $2$ .

$8 - 24 + 24 - 8$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $24$ من $8$ .

$- 16 + 24 - 8$

خطوة 4.2.2

أضف $- 16$ و $24$ .

$8 - 8$

خطوة 4.2.3

اطرح $8$ من $8$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $2$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 6)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$	$- 4$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 4)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 8)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(12)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$4$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(4)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(8)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 8)$ .

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + - 4 x + 4$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} - 4 x + 4$

خطوة 7

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(x - 2) + x^{2} - 4 x + 2^{2}$

خطوة 7.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 7.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(x - 2) + x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

خطوة 7.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$(x - 2) + {(x - 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حلّل $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 8.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

خطوة 8.1.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 8.1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 8.1.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 8.1.3.4

اضرب $- 6$ في $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 8.1.3.5

اطرح $24$ من $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

خطوة 8.1.3.6

اضرب $12$ في $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

خطوة 8.1.3.7

أضف $- 16$ و $24$ .

$8 - 8$

خطوة 8.1.3.8

اطرح $8$ من $8$ .

$0$

خطوة 8.1.4

بما أن $2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

خطوة 8.1.5

اقسِم $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ على $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

خطوة 8.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

خطوة 8.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

خطوة 8.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 8.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

خطوة 8.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

خطوة 8.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

خطوة 8.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

خطوة 8.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

خطوة 8.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

خطوة 8.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

خطوة 8.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

خطوة 8.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

خطوة 8.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

خطوة 8.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

خطوة 8.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 4 x + 4$

خطوة 8.1.6

اكتب $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

خطوة 8.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

خطوة 8.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 8.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

خطوة 8.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 8.3

جمّع العوامل المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $x - 2$ إلى القوة $1$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

خطوة 8.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

خطوة 8.3.3

أضف $1$ و $2$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 10

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 11