ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$9 {(- 1)}^{4} + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$9 \cdot 1 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

خطوة 4.1.2

اضرب $9$ في $1$ .

$9 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

خطوة 4.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$9 + 10 \cdot - 1 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

خطوة 4.1.4

اضرب $10$ في $- 1$ .

$9 - 10 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

خطوة 4.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$9 - 10 + 19 \cdot 1 + 20 (- 1) + 2$

خطوة 4.1.6

اضرب $19$ في $1$ .

$9 - 10 + 19 + 20 (- 1) + 2$

خطوة 4.1.7

اضرب $20$ في $- 1$ .

$9 - 10 + 19 - 20 + 2$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $10$ من $9$ .

$- 1 + 19 - 20 + 2$

خطوة 4.2.2

أضف $- 1$ و $19$ .

$18 - 20 + 2$

خطوة 4.2.3

اطرح $20$ من $18$ .

$- 2 + 2$

خطوة 4.2.4

أضف $- 2$ و $2$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2}{x + 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(9)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

	$9$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(9)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 9)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(10)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$	$1$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(19)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$	$18$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(18)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 18)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(20)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$	$2$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(- 1)$ وضَع نتيجة $(- 2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(2)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (18) x + 2$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$9 x^{3} + x^{2} + 18 x + 2$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x + 1) (9 x^{3} + x^{2}) + 18 x + 2$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x + 1) + x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

$(x + 1) x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $9 x + 1$ .

$(x + 1) (9 x + 1) (x^{2} + 2)$

خطوة 9

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد تجميع الحدود.

$10 x^{3} + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $10 x$ من $10 x^{3} + 20 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $10 x$ من $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $10 x$ من $20 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $10 x$ من $10 x (x^{2}) + 10 x (2)$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 9.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 u + 2 = 0$

خطوة 9.5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ ومجموعهما $b = 19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.1

أخرِج العامل $19$ من $19 u$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 (u) + 2 = 0$

خطوة 9.5.1.2

أعِد كتابة $19$ في صورة $1$ زائد $18$

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + (1 + 18) u + 2 = 0$

خطوة 9.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 1 u + 18 u + 2 = 0$

خطوة 9.5.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

خطوة 9.5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

خطوة 9.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$10 x (x^{2} + 2) + u (9 u + 1) + 2 (9 u + 1) = 0$

خطوة 9.5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $9 u + 1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 u + 1) (u + 2) = 0$

خطوة 9.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

خطوة 9.7

أخرِج العامل $x^{2} + 2$ من $10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أخرِج العامل $x^{2} + 2$ من $10 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

خطوة 9.7.2

أخرِج العامل $x^{2} + 2$ من $(9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1) = 0$

خطوة 9.7.3

أخرِج العامل $x^{2} + 2$ من $(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x + 9 x^{2} + 1) = 0$

خطوة 9.8

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(x^{2} + 2) (10 u + 9 u^{2} + 1) = 0$

خطوة 9.9

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.1

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 u + 1) = 0$

خطوة 9.9.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ ومجموعهما $b = 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.2.1

أخرِج العامل $10$ من $10 u$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 (u) + 1) = 0$

خطوة 9.9.2.2

أعِد كتابة $10$ في صورة $1$ زائد $9$

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + (1 + 9) u + 1) = 0$

خطوة 9.9.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 1 u + 9 u + 1) = 0$

خطوة 9.9.2.4

اضرب $u$ في $1$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + u + 9 u + 1) = 0$

خطوة 9.9.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x^{2} + 2) ((9 u^{2} + u) + 9 u + 1) = 0$

خطوة 9.9.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x^{2} + 2) (u (9 u + 1) + 1 (9 u + 1)) = 0$

خطوة 9.9.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $9 u + 1$ .

$(x^{2} + 2) ((9 u + 1) (u + 1)) = 0$

خطوة 9.10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(x^{2} + 2) ((9 x + 1) (x + 1)) = 0$

خطوة 9.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x^{2} + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 2$

خطوة 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

خطوة 11.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

خطوة 11.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (2)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

خطوة 11.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

خطوة 11.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i \sqrt{2}$

خطوة 11.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i \sqrt{2}$

خطوة 11.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $9 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $9 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 x + 1 = 0$

خطوة 12.2

أوجِد قيمة $x$ في $9 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$9 x = - 1$

خطوة 12.2.2

اقسِم كل حد في $9 x = - 1$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اقسِم كل حد في $9 x = - 1$ على $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

خطوة 12.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

خطوة 12.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

خطوة 12.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{9}$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - \frac{1}{9}, - 1$

خطوة 15