ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 5$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 5, \pm 10$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$5 {(2)}^{5} - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 2$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$5 \cdot 32 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

خطوة 4.1.2

اضرب $5$ في $32$ .

$160 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

خطوة 4.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$160 - 36 \cdot 16 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 36$ في $16$ .

$160 - 576 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

خطوة 4.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$160 - 576 + 62 \cdot 8 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

خطوة 4.1.6

اضرب $62$ في $8$ .

$160 - 576 + 496 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

خطوة 4.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$160 - 576 + 496 - 46 \cdot 4 + 57 (2) - 10$

خطوة 4.1.8

اضرب $- 46$ في $4$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 57 (2) - 10$

خطوة 4.1.9

اضرب $57$ في $2$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 114 - 10$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $576$ من $160$ .

$- 416 + 496 - 184 + 114 - 10$

خطوة 4.2.2

أضف $- 416$ و $496$ .

$80 - 184 + 114 - 10$

خطوة 4.2.3

اطرح $184$ من $80$ .

$- 104 + 114 - 10$

خطوة 4.2.4

أضف $- 104$ و $114$ .

$10 - 10$

خطوة 4.2.5

اطرح $10$ من $10$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $2$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10}{x - 2}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(5)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

	$5$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(5)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(10)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 36)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$	$- 26$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 26)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 52)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(62)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(10)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(20)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 46)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 26)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 52)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(57)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

خطوة 6.11

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(5)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(10)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 10)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

خطوة 6.12

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$	$0$

خطوة 6.13

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$5 x^{4} + - 26 x^{3} + 10 x^{2} + - 26 x + 5$

خطوة 6.14

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$5 x^{4} - 26 x^{3} + 10 x^{2} - 26 x + 5$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أعِد تجميع الحدود.

$- 26 x^{3} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $- 26 x$ من $- 26 x^{3} - 26 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $- 26 x$ من $- 26 x^{3}$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

خطوة 7.1.2.2

أخرِج العامل $- 26 x$ من $- 26 x$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x \cdot 1 + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

خطوة 7.1.2.3

أخرِج العامل $- 26 x$ من $- 26 x (x^{2}) - 26 x (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{4} + 10 x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{4}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 10 x^{2} + 5 = 0$

خطوة 7.1.3.2

أخرِج العامل $5$ من $10 x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 = 0$

خطوة 7.1.3.3

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

خطوة 7.1.3.4

أخرِج العامل $5$ من $5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2})$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

خطوة 7.1.3.5

أخرِج العامل $5$ من $5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

خطوة 7.1.4

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

خطوة 7.1.5

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

خطوة 7.1.6

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

خطوة 7.1.6.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 7.1.6.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 7.1.6.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(u + 1)}^{2} = 0$

خطوة 7.1.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

خطوة 7.1.8

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $- 26 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

خطوة 7.1.8.2

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1)) = 0$

خطوة 7.1.8.3

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 (x^{2} + 1)) = 0$

خطوة 7.1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5 \cdot 1) = 0$

خطوة 7.1.10

اضرب $5$ في $1$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5) = 0$

خطوة 7.1.11

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

خطوة 7.1.12

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.12.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.12.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ ومجموعهما $b = - 26$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.12.1.1.1

أخرِج العامل $- 26$ من $- 26 x$ .

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

خطوة 7.1.12.1.1.2

أعِد كتابة $- 26$ في صورة $- 1$ زائد $- 25$

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} + (- 1 - 25) x + 5) = 0$

خطوة 7.1.12.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 1 x - 25 x + 5) = 0$

خطوة 7.1.12.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.12.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x^{2} + 1) ((5 x^{2} - 1 x) - 25 x + 5) = 0$

خطوة 7.1.12.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x^{2} + 1) (x (5 x - 1) - 5 (5 x - 1)) = 0$

خطوة 7.1.12.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $5 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) ((5 x - 1) (x - 5)) = 0$

خطوة 7.1.12.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$5 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $x^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

خطوة 7.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 1$

خطوة 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 7.3.2.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 7.3.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 7.3.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 7.3.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $5 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $5 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x - 1 = 0$

خطوة 7.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$5 x = 1$

خطوة 7.4.2.2

اقسِم كل حد في $5 x = 1$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = 1$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

خطوة 7.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

خطوة 7.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

خطوة 7.5

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 7.5.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = i, - i, \frac{1}{5}, 5$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x - 2) (x - i) (x + i) (x - \frac{1}{5}) (x - 5)$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$ .

$x = 2, i, - i, \frac{1}{5}, 5$

خطوة 10