ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 7$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} + 48 (- 7) - 7$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 7$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $3$ .

$- 343 + 14 {(- 7)}^{2} + 48 (- 7) - 7$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$- 343 + 14 \cdot 49 + 48 (- 7) - 7$

خطوة 4.1.3

اضرب $14$ في $49$ .

$- 343 + 686 + 48 (- 7) - 7$

خطوة 4.1.4

اضرب $48$ في $- 7$ .

$- 343 + 686 - 336 - 7$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $- 343$ و $686$ .

$343 - 336 - 7$

خطوة 4.2.2

اطرح $336$ من $343$ .

$7 - 7$

خطوة 4.2.3

اطرح $7$ من $7$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 7$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 7$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7}{x + 7}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 7)$ وضَع نتيجة $(- 7)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(14)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$
	$1$	$7$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(7)$ في المقسوم عليه $(- 7)$ وضَع نتيجة $(- 49)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(48)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$
	$1$	$7$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$
	$1$	$7$	$- 1$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 1)$ في المقسوم عليه $(- 7)$ وضَع نتيجة $(7)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 7)$ .

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$	$7$
	$1$	$7$	$- 1$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 7$	$1$	$14$	$48$	$- 7$
		$- 7$	$- 49$	$7$
	$1$	$7$	$- 1$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + 7 x - 1$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} + 7 x - 1$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 7$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

أضف $49$ و $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.3

أضف $49$ و $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.4.4

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{53}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{53})}{2}$

خطوة 7.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{53})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{53})}{2}$

خطوة 7.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3

أضف $49$ و $4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.5.4

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{53}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{53})}{2}$

خطوة 7.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (7) - (\sqrt{53})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{53})}{2}$

خطوة 7.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

خطوة 7.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x + 7) (x + \frac{7 - \sqrt{53}}{2}) (x + \frac{7 + \sqrt{53}}{2})$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $x^{3} + 14 x^{2} + 48 x - 7$ .

$x = - 7, - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = - 7, - \frac{7 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{53}}{2}$

الصيغة العشرية:

$x = - 7, 0.14005494 \dots, - 7.14005494 \dots$

خطوة 11