ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 3$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

خطوة 4.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 + 3$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$1 + 1 - 5 + 3$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ و $1$ .

$2 - 5 + 3$

خطوة 4.2.2

اطرح $5$ من $2$ .

$- 3 + 3$

خطوة 4.2.3

أضف $- 3$ و $3$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(1)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$
	$1$	$2$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 5)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$
	$1$	$2$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$
	$1$	$2$	$- 3$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 3)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 3)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(3)$ .

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$	$- 3$
	$1$	$2$	$- 3$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$1$	$- 5$	$3$
		$1$	$2$	$- 3$
	$1$	$2$	$- 3$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + 2 x - 3$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} + 2 x - 3$

خطوة 7

حلّل $x^{2} + 2 x - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $2$ .

$- 1, 3$

خطوة 7.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) + (x - 1) (x + 3)$

$(x - 1) (x - 1) (x + 3)$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حلّل $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

خطوة 8.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 3$

خطوة 8.1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} + 1^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

خطوة 8.1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 + 1^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

خطوة 8.1.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 1 - 5 \cdot 1 + 3$

خطوة 8.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 - 5 \cdot 1 + 3$

خطوة 8.1.3.5

اضرب $- 5$ في $1$ .

$2 - 5 + 3$

خطوة 8.1.3.6

اطرح $5$ من $2$ .

$- 3 + 3$

خطوة 8.1.3.7

أضف $- 3$ و $3$ .

$0$

خطوة 8.1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x + 3}{x - 1}$

خطوة 8.1.5

اقسِم $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

خطوة 8.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$

خطوة 8.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 8.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 8.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

خطوة 8.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$

خطوة 8.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$

خطوة 8.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 8.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 8.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$

خطوة 8.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	+	$3$

خطوة 8.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 3 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	+	$3$

خطوة 8.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

خطوة 8.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 3 x + 3$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

خطوة 8.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$
										$0$

خطوة 8.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 2 x - 3$

خطوة 8.1.6

اكتب $x^{3} + x^{2} - 5 x + 3$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

خطوة 8.2

حلّل $x^{2} + 2 x - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

حلّل $x^{2} + 2 x - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

$- 1, 3$

خطوة 8.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) ((x - 1) (x + 3)) = 0$

خطوة 8.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 1) (x - 1) (x + 3) = 0$

خطوة 8.3

جمّع العوامل المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (x + 3) = 0$

خطوة 8.3.2

ارفع $x - 1$ إلى القوة $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (x + 3) = 0$

خطوة 8.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(x - 1)}^{1 + 1} (x + 3) = 0$

خطوة 8.3.4

أضف $1$ و $1$ .

${(x - 1)}^{2} (x + 3) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة ${(x - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة ${(x - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 10.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 11.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x - 1)}^{2} (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 3$

خطوة 13