ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$

خطوة 1

حلّل $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

خطوة 1.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

$4 {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

خطوة 1.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$4 \cdot - 1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 15$

خطوة 1.3.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 4 + 8 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 - 15$

خطوة 1.3.5

اضرب $8$ في $1$ .

$- 4 + 8 - 11 \cdot - 1 - 15$

خطوة 1.3.6

أضف $- 4$ و $8$ .

$4 - 11 \cdot - 1 - 15$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 11$ في $- 1$ .

$4 + 11 - 15$

خطوة 1.3.8

أضف $4$ و $11$ .

$15 - 15$

خطوة 1.3.9

اطرح $15$ من $15$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15}{x + 1}$

خطوة 1.5

اقسِم $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$11 x$

$15$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{2} + 4 x$

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 15 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	-	$15$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 15 x - 15$

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$11 x$	-	$15$
			-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	+	$15$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$4 x^{2} + 4 x - 15$

خطوة 1.6

اكتب $4 x^{3} + 8 x^{2} - 11 x - 15$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 15)$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ ومجموعهما $b = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$(x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 15)$

خطوة 2.1.1.2

أعِد كتابة $4$ في صورة $- 6$ زائد $10$

$(x + 1) (4 x^{2} + (- 6 + 10) x - 15)$

خطوة 2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x + 1) (4 x^{2} - 6 x + 10 x - 15)$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x + 1) ((4 x^{2} - 6 x) + 10 x - 15)$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x + 1) (2 x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3))$

خطوة 2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x - 3$ .

$(x + 1) ((2 x - 3) (2 x + 5))$

خطوة 2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 1) (2 x - 3) (2 x + 5)$