ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$

خطوة 1

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180 = 0$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

حلّل $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 180, \pm 2, \pm 90, \pm 3, \pm 60, \pm 4, \pm 45, \pm 5, \pm 36, \pm 6, \pm 30, \pm 9, \pm 20, \pm 10, \pm 18, \pm 12, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 180, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 1.5, \pm 60, \pm 30, \pm 4, \pm 22.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 36, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 4.5, \pm 20, \pm 10, \pm 12, \pm 7.5$

خطوة 1.2.2.1.3

عوّض بـ $- 4$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 4$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.3.1

عوّض بـ $- 4$ في متعدد الحدود.

$2 {(- 4)}^{3} - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

خطوة 1.2.2.1.3.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot - 64 - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

خطوة 1.2.2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 64$ .

$- 128 - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

خطوة 1.2.2.1.3.4

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$- 128 - 5 \cdot 16 - 97 \cdot - 4 - 180$

خطوة 1.2.2.1.3.5

اضرب $- 5$ في $16$ .

$- 128 - 80 - 97 \cdot - 4 - 180$

خطوة 1.2.2.1.3.6

اطرح $80$ من $- 128$ .

$- 208 - 97 \cdot - 4 - 180$

خطوة 1.2.2.1.3.7

اضرب $- 97$ في $- 4$ .

$- 208 + 388 - 180$

خطوة 1.2.2.1.3.8

أضف $- 208$ و $388$ .

$180 - 180$

خطوة 1.2.2.1.3.9

اطرح $180$ من $180$ .

$0$

خطوة 1.2.2.1.4

بما أن $- 4$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 4$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180}{x + 4}$

خطوة 1.2.2.1.5

اقسِم $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ على $x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$97 x$

$180$

خطوة 1.2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$

خطوة 1.2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} + 8 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$

خطوة 1.2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 13 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$

خطوة 1.2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					-	$13 x^{2}$	-	$52 x$

خطوة 1.2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 13 x^{2} - 52 x$

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$

خطوة 1.2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$

خطوة 1.2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$

خطوة 1.2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 45 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$

خطوة 1.2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							-	$45 x$	-	$180$

خطوة 1.2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 45 x - 180$

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							+	$45 x$	+	$180$

خطوة 1.2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							+	$45 x$	+	$180$
										$0$

خطوة 1.2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$2 x^{2} - 13 x - 45$

خطوة 1.2.2.1.6

اكتب $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x + 4) (2 x^{2} - 13 x - 45) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 45 = - 90$ ومجموعهما $b = - 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 13$ من $- 13 x$ .

$(x + 4) (2 x^{2} - 13 x - 45) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 13$ في صورة $5$ زائد $- 18$

$(x + 4) (2 x^{2} + (5 - 18) x - 45) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x + 4) (2 x^{2} + 5 x - 18 x - 45) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x + 4) ((2 x^{2} + 5 x) - 18 x - 45) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x + 4) (x (2 x + 5) - 9 (2 x + 5)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 5$ .

$(x + 4) ((2 x + 5) (x - 9)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 4) (2 x + 5) (x - 9) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 9 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 1.2.4.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $2 x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $2 x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 5 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 5$

خطوة 1.2.5.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 5$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

خطوة 1.2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

خطوة 1.2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

خطوة 1.2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{5}{2}$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 4) (2 x + 5) (x - 9) = 0$ صحيحة.

$x = - 4, - \frac{5}{2}, 9$

خطوة 1.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(- 4, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (9, 0)$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

خطوة 2.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

خطوة 2.2.3

احذِف الأقواس.

$y = 2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

خطوة 2.2.4

بسّط $2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

خطوة 2.2.4.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

خطوة 2.2.4.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 97 \cdot 0 - 180$

خطوة 2.2.4.1.4

اضرب $- 5$ في $0$ .

$y = 0 + 0 - 97 \cdot 0 - 180$

خطوة 2.2.4.1.5

اضرب $- 97$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 180$

خطوة 2.2.4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 - 180$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 - 180$

خطوة 2.2.4.2.3

اطرح $180$ من $0$ .

$y = - 180$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 180)$

خطوة 3

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(- 4, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (9, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 180)$

خطوة 4